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素因数分解とは

1名無しさん@おーぷん:2017/10/13(金)19:16:01 ID:S5M()
自然数の対数であり、自然数上の無限次元ベクトルである。その本質は掛け算を足し算に変換する事。
12 = 2^2 + 3^1 + 5^0 + 7^0 + ...
なので
log(12) = (2,1,0,0,0... )

このベクトルを自然数から整数に変え、-1を素因数に追加すると 0 を除く有理数の対数となる。
例えば、
12/35 = (-1)^0 + 2^2 + 3^1 + 5^-1 + 7^-1 + 11^0 + 13^0 ...
なので
log( 12/35) = (0,2,1,-1,-1,0,0... )
log(-12/35) = (1,2,1,-1,-1,0,0... )

さらに、有理数の複素数にできないか?
それは
( cos(θ) + sin(θ)i ) * 正の有理数絶対値 = ( cos(θ) + sin(θ)i ) * 2^a + 3^b + 5^c ...
という形にOK、次のようになる
log(-12/35) = (π , 2,1,-1,-1,0,0... )
log(12i/35) = (π/2 , 2,1,-1,-1,0,0... )

しかし、先頭要素θが整数でないのが気に入らない。
また 0 も何とか含められないか?
0^0 は自然数なら1と定義しても差し支えない、そういう事にすれば、乗算(ベクトル加算)は問題無い、が除算(ベクトル減算)の挙動が気に入らない。

などという事を考えていたアマチュア数学マニアなのですが
このベクトルの要素をすべて整数にして気持ちよくできないかな?
 
+0
-0
2名無しさん@おーぷん :2017/10/17(火)01:24:05 ID:Eku
まず、ベクトル空間を成しているわけではないのでベクトル呼びはやめた方がいい
数学的な言葉で書けばこんな感じかな

整数環ZはUFDであり、また素元の集合を"(正の)素数の集合"として(大小関係による順序を込めて)canonicalに取ることができる.
よって、次のbijectiveな対応が存在.
Z\{0}∋±2^a[1]•3^a[2]•5^a[3]•…→(±1,{a[n]})∈{±1}×{seqs of natural numbers of which all but a finite members are zero}
整数列に拡張すれば、Q\{0}との間に類似の対応をつくることができる.


有理数の複素数というのはQ[√-1]のこと?
アナロジーを考えるならば、Q[√-1]はZ[√-1](これもUFD)の商体なので、Z[√-1]における素元分解をまず考えるべき
SpecZ[√-1]はSpecZよりも複雑だが、おそらく問題なく比較的自然な順序を入れられるので、同じようなことは出来なくはないと思われる
3名無しさん@おーぷん :2017/10/17(火)01:33:51 ID:Eku
ちなみにX=SpecZ[√-1]とSpecZの関係は
・p≡3 mod 4 ⇒(p)∈X
・p≡1 mod 4 ⇒∃a,b∈Z s.t. p=a^2+b^2,(a±b√-1)∈X
という感じで少し膨らむ
あとunitは{±1}から{±1,±√-1}に増える
よって
±1及び2,3,5,7,11,13,...
で分解する代わりに
±1,±i及び1+i,3,1+2i,1-2i,7,11,2+3i,2-3i,... (i=√-1)
で分解してやれば一意に分解できる

例えば
12+9i=i•3(1-2i)^2→(i,{0,1,0,2,0,0,0,...})
といった感じ
4名無しさん@おーぷん :2017/10/17(火)01:36:36 ID:Eku
計算ミス
12+9i=-i•3(1+2i)^2→(-i,{0,1,2,0,0,0,…})
5名無しさん@おーぷん :2017/10/17(火)01:56:35 ID:Eku
0を入れたいという話を忘れてた


上で与えた対応はZの積と数列の和を対応させていたもの
0はZの乗法に関して特異的な元であり、それを加えると言うことは数列の側にも同じように特異的な元を加える必要があるということ

解決法は2つ

1つ目は、0の行き先として∞という元を用意すること(∞はいかなる元と和を取っても∞になる、と約束)
Z→{±1}×{seqs} ∪ {∞}
すると、
Z∋0=1×0→(1,{0,0,0,...})+∞=∞
となりうまく演算が保存される

2つ目は、0を無視すること
Z\{0}は逆元を持たないので群にはならず、数学的にはモノイドと呼ばれる対象
すると上の対応はモノイドに関する準同型と思うことができる
ちなみにQ\{0}は群になり、これはQの乗法群と呼ばれたりする
このとき上の対応は群準同型になっている
6名無しさん@おーぷん :2017/10/25(水)00:35:58 ID:ZAN
素数ってすごいの?
7名無しさん@おーぷん :2017/10/25(水)07:12:44 ID:oJM
分析的理解しかできないから同じ形のものを探してくるのが苦手なんだよ
8名無しさん@おーぷん :2018/04/10(火)12:34:04 ID:6Nf
>>6
凄いとかじゃなくて
数列の中で不定期に現れるものでパターンが解かっていないんだよ
9名無しさん@おーぷん :2018/06/14(木)10:22:32 ID:k4e
>>1 です。
レスが付きそうにないくらい過疎っていたので、諦めていたらレスがついていたwww
ID:Ekuさん、ありがとうございます。

自分でも、この後色々考えてみました。結局どうにも上手くいかなくて、ガウス整数と円分体のwiki記事を見てしまいました。Orz
目標としていたのは、ガウス整数をそのまま有理数に変える形でした。

ところで、ベクトルでは無いとはどういう事なんだろう?
wikiのベクトル空間のページを見てみると、ベクトル空間の公理について
加法→が要素ごとの和、つまり乗法、スカラー乗法はべきになるけれど
加法の結合律
加法の可換律
加法単位元の存在
加法逆元の存在
加法に対するスカラー乗法の分配律
体の加法に対するスカラー乗法の分配律
体の乗法とスカラー乗法の両立条件
スカラー乗法の単位元の存在
これらすべて満たしているので、ベクトル空間になっていると思うんですが・・・

# 色々考えてみて分かったこと。
0を含める事は実は掛け算(ベクトル上の足し算)をしている間は、特に問題は発生しない。
問題は、足し算(ベクトルをばらして普通の数に作り替え足し算したのち、もうぺん素因数分解する)と問題が発生するんだ。
あくまでも加法と乗法の混合計算に問題があるのであってどちらか単独であれば、加法と乗法ともにゼロを混入しても問題なく計算可能だったとは。
0除算禁止の秘密が一つ分かっで楽しかったです。
10名無しさん@おーぷん :2018/06/14(木)10:32:48 ID:k4e
今回結局、答えに辿り着けなかった理由は、複素数のノルム(絶対値)の概念が重要な事に気づけるかどうかだったんだと思う。
これが分からないと、複素数の因数分解概念に辿り着けくなる。
距離が実数になったから頭から除外してしまったんだな、平方根取らなきゃいいじゃないかって話を除外してしまった・・・
次に何か新しいネタを研究する時は、ここを意識していきたいと思う所存。
11名無しさん@おーぷん :2018/06/14(木)10:44:38 ID:k4e
せっかく面白い事実を発見したので・・・
次のお題は、0で割ってしまった筈なのになぜか形式的に変形してもうまくいくケースの分析と状況の整理かな。
はてさて、どの辺りから攻めてみよう・・・
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