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この問題解ける?

1名無しさん@おーぷん:2014/12/02(火)18:48:52 ID:kaR()

21,221,2221,22221……が平方数にならないことを示せ
2名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)18:49:13 ID:kaR()
解答は見つからなかった
3名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)18:50:16 ID:kaR()
やっぱり背理法だよね
4名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)18:51:55 ID:kaR()
一の位は9か1なのは分かった
5名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:11:34 ID:8G2
a_i = ( Σ2*(10)^i ) + 1
for i ∈ N
6名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:33:26 ID:8G2
m^2 = a_i
⇔m^2 = ( Σ2*(10)^i ) + 1=2Σ(10)^i + 1
⇔m^2 - 1 = 2Σ(10)^i
⇔(m+1)(m-1) = 2Σ(10)^i
7名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:38:36 ID:kaR()
なるほど
8名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:39:52 ID:8G2
ただの同値変形なのですまん…
この先から挫折。。
9名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:40:08 ID:kaR()
連続2数の積が22222…………222
にならないといけないって事ね
10名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:41:47 ID:8G2
>>9
連続する2数ではないよ
あえて言うなら、自然数を一つ選んでその両側の二つの数の積

でふ
11名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:43:01 ID:kaR()
>>10
すまんミスった
12名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:44:31 ID:kaR()
2*4=8
4*6=24
6*8=48
8*0=0
0*2=0
で奇数はあり得ないことで証明終了かな
13名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:46:04 ID:8G2
>>12
どういうこったい??
14名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:48:27 ID:kaR()
あ、ミスった
222222222………2220になるんだな
15名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:55:25 ID:8G2
1234567890
[左辺の最下位桁のパターン]
1,3
2,4
3,5
4,6
5,7
6,8
7,9
8,0→例 (19+1)(19-1)
9,1
2,0→例 (21+1)(21-1)


うーん
16名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:57:47 ID:kaR()
意外と難しそう
17名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)19:58:37 ID:8G2
直接頑張るのはきついフラグ笑
18名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:02:25 ID:kaR()
結局>>4と同値だったりするんだよな………
19名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:06:31 ID:8G2
>>18
確かに…確かに…
20名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:09:02 ID:kaR()
Mod9で
1^2≡1
2^2≡4
3^2≡0
4^2≡-1
5^2≡1
6^2≡0
7^2≡4
8^2≡1
9^2≡0
21名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:10:33 ID:kaR()
訂正
1^2≡1
2^2≡4
3^2≡0
4^2≡7
5^2≡1
6^2≡0
7^2≡4
8^2≡1
9^2≡0
22名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:12:14 ID:kaR()
10^k≡1より
22222222………2221≡2+2+2+………………+2+1
23名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:13:06 ID:kaR()
ヒントにならんかな………
24名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:21:35 ID:8G2
mが平方数にならない
⇔ N^2 < m < (N+1)^2 を満たすNが存在する

って言われてもな。。(無力)
25名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:30:51 ID:kaR()
>>24
考えれるm全てを考えるのはキツイ
26名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:31:27 ID:8G2
等比数列の和の公式が使えるのかしら
27名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)22:45:53 ID:bWj
222…221=n^2 (nは奇数) とする
222…220=n^2-1
左辺は8の倍数でない 右辺は8の倍数
28名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:06:56 ID:kaR()
(2k+1-1)(2k+1+1)=4k(k+1)

ほんとだ
8の倍数じゃん
29名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:11:28 ID:O2W
>>27
SUGEE
30名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:16:05 ID:kaR()
mod8で
222………2220(n+1桁)

Σ[k=1…n](2^k)*2+2
=
2(2^n-2)+2
≡(n>2)
2(-2)+2
=-2(≠0)
31名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:17:52 ID:kaR()
計算ミスったな
32名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:23:17 ID:kaR()
mod8で
222………2220(n+1桁)

Σ[k=1…n](2^k)*2+0
=
2(2^n-2)+0
≡(n>2)
2(-2)+0
=-4(≠0)
33名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:28:31 ID:kaR()
また間違えた

mod8で
222………2220(n+1桁)

Σ[k=1…n](2^k)*2+0
=
2(2^n-1)*2+0
=
2^(n+2)-4
≡-4(≠0)
34名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:29:54 ID:kaR()
確かに8の倍数じゃないな
これで証明終了かな
35名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:37:49 ID:kaR()
どうやら合ってるみたいだね
無事解決しました!ありがとう!
36名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:54:17 ID:O2W
これで安眠出来るね!
37名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)11:40:18 ID:P4B
このスレの問題の出典:

【シンプル整数問題】222…1 の形をした整数は平方数にならない - 短くて面白い数学の問題コレクション ~シンプルな難問~
http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20141128/p2
38名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)20:59:09 ID:PgF
>>37
ジュニアでこのレベルかよ……
39名無しさん@おーぷん :2014/12/19(金)15:13:52 ID:AH5
>>30-33
modを使う必要はなく、中学生でも8の倍数であることを示せるようになってるよ。
22..20=11..1×2×10だから
40名無しさん@おーぷん :2014/12/19(金)15:14:51 ID:AH5
>8の倍数であること

>8の倍数でないこと
41名無しさん@おーぷん :2014/12/19(金)21:37:01 ID:sXc
>>39
ほんとだー
42名無しさん@おーぷん :2016/08/22(月)06:59:18 ID:IrE
21.221.・・・222…1が、平方数であるならば
4で割った余りが0か1
よって余りは1
また、22222…21=22222…2+1とおける
22222…22は、末尾2桁の数字が22より4の倍数でないことにより22222…22を4で割った余りは1か2か3
よって余りは2
この時、自然数mを用いて
22222…21=4m+4-1と表せる。変形して、
22222…21=4(m+1)-1
22222…22=4(m+1)となるが、右辺の数は4の倍数でないため矛盾。
よって、21.221.・・・222…1は平方数でない。

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