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のんびり算数・数学パズル

1名無しさん@おーぷん:2014/11/17(月)17:17:39 ID:7ipET0Kxh()
出すのも答えるのもokだよ
2名無しさん@おーぷん :2014/11/17(月)17:20:25 ID:7ipET0Kxh()
一問目
正六面体(立方体)の各面を赤赤白白黄黄の三色で塗り分ける場合の数は何通りかな?
3名無しさん@おーぷん :2014/11/17(月)17:22:55 ID:7ipET0Kxh()
(補足)各色2面ずつ3色で塗り分けてね
同じ色、正方形の面の形に区別は無い物とするよ
4名無しさん@おーぷん :2014/11/17(月)22:19:27 ID:gq664KKpn
4
5名無しさん@おーぷん :2014/11/17(月)22:35:59 ID:gq664KKpn
間違った6
6名無しさん@おーぷん :2014/11/17(月)22:59:17 ID:7ipET0Kxh()
よく来た!
7名無しさん@おーぷん :2014/11/17(月)23:11:38 ID:7ipET0Kxh()
答え
6通り

(1)黄が隣り合っていないとき1,2
(2)黄が隣り合っているとき
---(a)その中で赤が隣り合っていないとき3
---(b)その中で赤が隣り合っているとき
-------p:その中で白が隣り合っていないとき4
-------q:その中で白が隣あっているとき5,6
※5,6はいわゆる右手と左手の関係で重なり会うことがないよ!
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-7.png
8名無しさん@おーぷん :2014/11/17(月)23:12:53 ID:7ipET0Kxh()
>>5
複雑な場合分けを良くこなして凄いです!

大正解!
9名無しさん@おーぷん :2014/11/17(月)23:17:45 ID:7ipET0Kxh()
二問目!
次の規則でn個の円が交わって行くときn=5を図示してね
(純粋なお絵かき問題だよ)
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-9.png
10名無しさん@おーぷん :2014/11/18(火)02:59:26 ID:XsTcKgdvU



11名無しさん@おーぷん :2014/11/18(火)07:34:48 ID:WhtSYVmbU

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-11.png
12名無しさん@おーぷん :2014/11/18(火)08:02:25 ID:C60ounaUZ
俺の負けでいいよ↑
13名無しさん@おーぷん :2014/11/18(火)16:12:06 ID:FU8wyQ05d
>>11
ワロタ
14名無しさん@おーぷん :2014/11/18(火)16:12:43 ID:FU8wyQ05d
>>10
正解!
15名無しさん@おーぷん :2014/11/18(火)16:15:19 ID:FU8wyQ05d
答え

中心から考え得る全ての共通部分を通る円を書くと簡単にかけるよ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-15.png
16EkKK.zeea2 :2014/11/18(火)16:25:58 ID:FU8wyQ05d
三問目

下に示す赤と青のブロックをそれぞれ同じ個数使って作られる正方形のうち
(1)一辺が最小になるものを図示して、
(2)それが最小になる理由を説明してね


1.回転させて使ってもいいけど、裏返したり、拡大して使ったらダメだよ
2.正方形の中にブロックが使われていない空洞があったらダメだよ


http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-16.png
17EkKK.zeea2 :2014/11/18(火)16:29:23 ID:FU8wyQ05d
解答に必要だったら
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-17.png
18名無しさん@おーぷん :2014/11/19(水)01:19:13 ID:yp6ATEVz9
面積は(4+5)の倍数
作図可能な最小の平方数は36
(青で額縁をつくり、中身は赤)
よって一辺は6
19名無しさん@おーぷん :2014/11/19(水)07:15:56 ID:cYw2Ykzf8
>>18
正解!
20名無しさん@おーぷん :2014/11/19(水)07:19:04 ID:cYw2Ykzf8
四問目
正八面体で一筆書きで全ての辺を通ってね(簡単だよ)
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-20.png
21名無しさん@おーぷん :2014/11/19(水)07:32:19 ID:Wlkjqvtnu
AB BC CA AD DC CF FB BE ED DF FE EA !
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-21.png
※コラボ元:>>20
22名無しさん@おーぷん :2014/11/19(水)16:26:32 ID:cYw2Ykzf8
>>21正解!
23名無しさん@おーぷん :2014/11/19(水)16:31:55 ID:cYw2Ykzf8
五問目
平行線l、mが与えられたとき定規だけ(コンパス不可)で以下を作図してね
(1)線分ABの二等分点
(2)lとmに平行でそれぞれに一致しない新たな平行線を具体的に一つ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-23.png
24名無しさん@おーぷん :2014/11/19(水)16:44:44 ID:cYw2Ykzf8
補足
定規にメモリはついてないよ
直線を引くことのみ出来るとしてね
25名無しさん@おーぷん :2014/11/19(水)21:56:30 ID:cYw2Ykzf8
今回はちょっとムズイかも
26名無しさん@おーぷん :2014/11/20(木)18:49:18 ID:kXzjD5Jdi
誰も来ないや
まあいいけど
27名無しさん@おーぷん :2014/11/21(金)13:22:33 ID:lKQnIZ7B3
lより上の空間にある点Pをとる
APとlの交点をA'とする
BPとlの交点をB'とする
BB'とAA'の交点をP'とする
PP'とmの交点はABの中点だと思う(ズコー

A'B'の中点を同様の方法で作図する。これをC'とする
ABの中点をCとすると、CA'とBC'の交点とAC'とCB'の交点を結ぶ直線はlと平行になる気がする(ズコー
28名無しさん@おーぷん :2014/11/21(金)14:46:55 ID:XEHI2QFq1
P'間違い
正しくはAB'とBA'の交点をP'とする
29名無しさん@おーぷん :2014/11/21(金)16:19:51 ID:AufZ8XUnj
>>27
正解!
30名無しさん@おーぷん :2014/11/21(金)16:23:20 ID:AufZ8XUnj
解説(1)
チェバの定理より
a/b*c/d*e/f=1
三角形の相似より
e:f=d:c
以上より
a=b
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-30.png
※コラボ元:>>23
31名無しさん@おーぷん :2014/11/21(金)16:31:31 ID:AufZ8XUnj
(2)
任意点A',B'の中点c'を(1)と同様に作図
あとは三角形の相似で証明できる

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-31.png
※コラボ元:>>23
32名無しさん@おーぷん :2014/11/21(金)16:42:51 ID:AufZ8XUnj
第六問【算数オリンピック】
1辺が8cmの正方形ABCDがあります。
図のようにそれぞれの辺の上に点E、F、G、Hをとり、HとFを結びました。
次にHとFを結んだ線の上に点Pをとり、PとE、Gを結ぶと、
四角形AEPHの面積は6c㎡となりました。四角形PFCGの面積を求めなさい。
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-32.png
33米沢牛大好きマン◆mSv68VJVPg :2014/11/21(金)22:51:13 ID:dzkwmafmW
6じゃないの(`・ω・´)?
34名無しさん@おーぷん :2014/11/21(金)22:58:11 ID:AufZ8XUnj
>>33
違うよ!
35名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)02:31:18 ID:b3F0x90YO
xy 座標の原点に点 B を置き、座標 ( 8, 0 ) に点 C を置くことによって、xy 座標に四角形 ABCD を置く。
直線 FH は y = -2x + 12 で表され、直線 EG は y = (-1/2)x + 6 で表される。
二直線の交点 P の座標は ( 4, 4 ) であることが分かる。
座標 ( 4, 0 ) を I で表し, 座標 ( 8, 4 ) を J で表す。

( 四角形 PFCG の面積 )
= ( 四角形 PICJ の面積 ) - ( 三角形 PIF の面積 ) - ( 三角形 PGJ の面積 )
= 16 - 4 - 4
= 8.
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-35.png
※コラボ元:>>32
36名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)03:17:31 ID:TPbD324S4
P(s,-2s+12)とおくとs+8-(-2s+12)=3s-4=6
よって答えは20-3sだから10
EG直線ではないし
37名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)10:49:19 ID:dpf0CJPgX
>>36
正解!
38名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)11:00:13 ID:dpf0CJPgX
答え

高さ等しい(緑)ので
PをHまで移動させるのは等積変形になる
よって求める面積は赤で囲まれたところ
よって10

(Pから各辺に垂線下せば普通の幾何的考察できるよ)

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-38.png
※コラボ元:>>32
39名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)11:03:24 ID:dpf0CJPgX
七問目【算数オリンピック1999】

図のように大きな長方形を
面積がそれぞれ12c㎡、24c㎡、36c㎡、48c㎡の4つの小さな長方形に分けました。
斜線部分の面積は何c㎡ですか。


http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-39.png
40名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)14:24:50 ID:t75
(4+6)/2=5
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-40.png
41名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)17:44:35 ID:dpf
>>40
正解
42名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)17:56:42 ID:dpf
八問目
8種類の文字A,B,C,D,E,F,G,Hには,

2,3,4,5,6,7,8,9のいずれかが入り,同じ文字には同じ数字が入り,
8個の数字はすべていずれかの文字にあてはまります。
下の3つの式をみたすように,それぞれの文字にあてはまる数字を答えなさい。

A×B=C×D
A×D=C×E
C×(F-G)=G-H
43名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)18:18:10 ID:xA4
Aから順に
3,4,2,6,9,8,7,5

楽勝~
44名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)19:27:47 ID:dpf
九問目!【東京大2001・文系】
白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁ご石が横に一列に並んでいる.
碁石が どのように並んでいても,次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ.


その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと,
残りは白石と黒石が同 数となる.
ただし,碁石が一つも残らない場合も同数とみなす.
45名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)19:28:09 ID:dpf
>>43
正解!
46名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)20:35:38 ID:TPb
黒を+1白を-1と置き換えてみると最初以外に左から数えた和が0になり次が黒(+1)ならその黒から取り除けばいい
一番左が黒ならそれから、つまり全て取り除いておしまい
白なら、その時点で和は-1
全ての石を置くと和は+1
つまり、必ず-1から黒石が連続で置かれる時がある(そうでないと永遠に正の数にならない)
そこの二番目の黒石から右を取り除けばいい
結局、一番左の石の置き方によらず黒石の存在が示せた
だいたいこんな感じ
47名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)20:42:38 ID:TPb
最初以外は余計かな
48名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)22:16:49 ID:dpf
>>47
正解!
俺とおんなじやり方だ!
49名無しさん@おーぷん :2014/11/22(土)22:22:49 ID:dpf
十問目【桐光学園中学】
図のような正方形と半円、おうぎ形を組み合わせた図形があります。

色のついた部分の面積は何c㎡ですか。
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-49.png
50名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)08:39:23 ID:thg
3π/2-3
51名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)18:14:18 ID:Hdw
>>50
正解!
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-51.png
※コラボ元:>>49
52名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)18:21:22 ID:daL
東京大学って陰湿な問題出すな
53名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)18:24:06 ID:Hdw
>>52
これは良問だと思うよ
別解大量にあるし
54名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)18:54:05 ID:Hdw
十一問目
次の3人の発言のうち1つだけ嘘の発言があります。それは誰の発言ですか。
 太郎君「チョコレートケーキが好きならばチョコレートが好き」
 次郎君「チョコレートが好きならばチョコレートケーキが好き」
 三郎君「チョコレートが好きでないならばチョコレートケーキが好きでない」
55名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)18:54:28 ID:Hdw
簡単かな?
56名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)19:39:09 ID:ZLP
太郎
57名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)19:50:55 ID:Hdw
ちがうよ
58名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)19:51:35 ID:Hdw
こうやってったら答えバレちゃうから
ちょっと理由も書いて
59名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)20:19:56 ID:veh
対偶の真理値は等しい

よって二郎
60名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)20:23:43 ID:Hdw
>>59
せいかい!
次郎君だよ!
61名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)20:40:43 ID:Hdw
十二問目!
5個の異なる素数のペアがある。それを小さい順番に並び替えたとき、
項差6の等差数列になる。このときの素数のペアを全て求めよ
62名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)20:45:14 ID:Hdw
>>61
漢字ミス
項差→公差
63名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)21:50:43 ID:EbM
自分で答え書いてんじゃん

唯一性は、5で割った時の余りが一ずつ増えるから鳩ノ巣原理的にどれかは5の倍数、そのうち素数は5のみよりしめせる
64名無しさん@おーぷん :2014/11/23(日)21:57:31 ID:iGa
5, 11, 17, 23, 29 ってことか。その他の組が存在しないことの説明はよく分からん…
65名無しさん@おーぷん :2014/11/24(月)00:15:15 ID:fGp
>>63
せいかーい
唯一性は最小の素数をpとすると
2番目p+6≡p+1mod5
3番目p+12≡p+2mod5
4番目p+18≡p+3mod5
5番目p+24≡p+4mod5

よっていずれかは5の倍数だよ
66名無しさん@おーぷん :2014/11/24(月)00:27:01 ID:fGp
次の問題は明日発表
67名無しさん@おーぷん :2014/11/24(月)05:59:16 ID:dft
けっこう面白い
68名無しさん@おーぷん :2014/11/24(月)17:07:07 ID:fGp
十三問目!
二つの赤い点を全てのマスを一回ずつ通って結ぶことはできる?
出来るならやり方を図示して
出来ないなら理由を答えてね
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-68.png
69名無しさん@おーぷん :2014/11/24(月)18:18:45 ID:VZq
一筆書き問題の応用かな
70名無しさん@おーぷん :2014/11/24(月)18:56:14 ID:wly
99回上下左右どれかに動かなきゃならないのに左より右が5回上より下が3回動くのは無理(偶数になる)
71名無しさん@おーぷん :2014/11/24(月)19:38:49 ID:fGp
>>70
正解です!
そのやり方は思いつかんかった

つまりこういうことかな?
右下の点から見て
左に動く回数ー右に動く回数+上に動く回数ー下に動く回数=5+3=8
左に動く回数+右に動く回数+上に動く回数+下に動く回数=99
両辺足して
2(左に動く回数+上に動く回数)=107
辺辺の偶数奇数が一致しない(矛盾)
72名無しさん@おーぷん :2014/11/24(月)19:45:50 ID:fGp
十四問目
ゴール地点はどこでもいいとして
赤い点から出発して全てのマスを通る方法はある?
できるならやり方を
出来ないなら理由を書いてね


http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-72.png
73名無しさん@おーぷん :2014/11/25(火)14:33:04 ID:Vp7
>>70
目から鱗が出た
74名無しさん@おーぷん :2014/11/25(火)16:40:52 ID:Lpg
意外とむずいかも
75名無しさん@おーぷん :2014/11/25(火)21:15:51 ID:FMN
赤色のところは、偶数回動かないといけないところ、逆に白いところは、偶数回目では行くことができない

80回動く必要があるから赤の個数と白の個数が同じでなきゃならないが、ここではそうではないから無理

同様にして、最初が赤色のどのマスでも題意を満たす動き方はできない
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-75.png
※コラボ元:>>72
76名無しさん@おーぷん :2014/11/25(火)21:49:43 ID:Lpg
>>75
正解!おみごと!
赤の方が多いから赤からスタートしなければいけないね
77名無しさん@おーぷん :2014/11/25(火)21:50:20 ID:Lpg
>>76
ミス白の方が多いから白からスタートね
78名無しさん@おーぷん :2014/11/25(火)21:50:49 ID:Lpg
次のは明日〜
79名無しさん@おーぷん :2014/11/26(水)01:53:20 ID:iFE
白赤白赤を数えるのか~

方向を考えたわりに役に立たない必要条件ばっかり考えてたな~
猛省
80名無しさん@おーぷん :2014/11/26(水)03:20:20 ID:WJW
俺はハミルトン路について調べてたわw
81名無しさん@おーぷん :2014/11/26(水)16:23:01 ID:vZU
十五問目
正四面体の各面を無限遠方まで延長させたとき、空間は何個に分けられる?
82名無しさん@おーぷん :2014/11/26(水)20:47:10 ID:gQD
15
83名無しさん@おーぷん :2014/11/26(水)21:14:44 ID:gQD
あ、もしかしてシャレでしたか?
84名無しさん@おーぷん :2014/11/26(水)22:54:40 ID:vZU
>>83
正解!
たまたまだよwwww
今度からそういうのも考えていこうwww
85名無しさん@おーぷん :2014/11/26(水)23:00:34 ID:vZU
十六問目!
A〜Eにひとり嘘つきがいるよ
嘘つきは誰かな?
A「BかCが嘘つきです」
B「Eは正直者だよ」
C「BかEが嘘つきだ」
D「AかCの少なくとも片方は正直者さ」
E「眠いなぁ」
86名無しさん@おーぷん :2014/11/26(水)23:10:32 ID:vZU
(補足)
嘘つきの主張はその否定が真だよ
87名無しさん@おーぷん :2014/11/26(水)23:23:21 ID:vZU
(補足2)
E「私は眠いです」ってことだよ
別に同意を求めた発言じゃないよ
88名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)00:40:43 ID:Xjj
こういううそつきが一人って設定の問題で~は正直であるって人がいるとその二人は真で確定してしまうから非常に簡単なんだよな

それを否定しているCがうそつき
89名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)10:51:24 ID:khH
ただ、嘘つきとは自分の信条に反することを口にする人間と考えるとその信条の真偽を加味する必要がある気がする
90名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)18:33:51 ID:EBK
>>88
せいかーい
簡単すぎたね
91名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)18:51:40 ID:EBK



十七問目!
下の三日月を2本の直線で6等分してください
92名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)18:52:58 ID:EBK
訂正
下の三日月を二本の直線で6等分してください
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-92.png
93名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)18:55:25 ID:EBK
また間違えた
再訂正
下の三日月を二本の直線で6個に分けてください
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-93.png
94名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)20:35:29 ID:MLh
やっと追い付いた、絵が描けないんで文で
三日月のどちらか端っこの方にばってんが来るように交差させて
2本の線が内側の白い所を通って反対側の黄色い部分に到達すれば6個になるかな
95名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)20:48:53 ID:EBK
>>94
こういうこと?
答えは三日月の内部領域を6個に分けて欲しいんだけど………
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-95.png
※コラボ元:>>93
96名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)20:50:19 ID:EBK
それともこれかな?
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-96.png
※コラボ元:>>92
97名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)20:51:46 ID:EBK
>>94
こういうことか!
正解です!
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-97.png
※コラボ元:>>92
98名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)20:53:02 ID:EBK
一応別解
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-98.png
※コラボ元:>>93
99名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)20:54:25 ID:EBK
十八問目!
1,1,9,9
を用いて
四則演算と括弧のみで10を作ってね
100名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)21:28:48 ID:DgU
(1+(1/9))*9
101名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)21:35:48 ID:MLh
>>98
混乱させてしまったようでもうしわけない
102名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)21:38:30 ID:EBK
十九問目!【慶応大学/薬学部2012年】
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-102.png
103名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)21:40:59 ID:EBK
太線ってこれのことね
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-103.png
※コラボ元:>>102
104名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)21:41:50 ID:EBK
要するに3)以外は普通の独数
105名無しさん@おーぷん :2014/11/27(木)21:48:17 ID:EBK



106名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)00:12:06 ID:9Ej
E9から順に

53114276
107名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)00:14:42 ID:9Ej
>>99

同じゲームで(9,9,9,9)から10を作るのも面白いよ
ナンバープレート問題と呼んでいた
108名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)16:23:15 ID:DU0
>>106正解!
109名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)16:24:01 ID:DU0
>>107
(9*9+9)/9だね
110名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)16:37:03 ID:DU0
二十問目!
有名な問題
四本の連続する直線で全ての点を結んでね
(一筆書きで三回折れ曲がって全ての点を通って、という意味)
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-110.png
111名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)21:51:40 ID:Fju



112名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)22:02:03 ID:Ih3
お見事
113名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)22:08:39 ID:DU0
>>111
正解ー!
114名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)22:11:53 ID:DU0
二十一問目!
6本の連続する直線で全ての点を結んでね
(二十問目と同様)
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-114.png
115名無しさん@おーぷん :2014/11/28(金)23:32:19 ID:OkP
こうか!
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-115.png
※コラボ元:>>114
116名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)10:29:08 ID:7Mc
>>115
せいかーいm
117名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)10:30:53 ID:7Mc
二十二問目
八本の連続する直線で全ての点を結んでね
(二十問目と同様)
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-117.png
118名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)12:43:48 ID:7Mc
一応言っとくけど同じ点を2回以上直線が通過するのはokだよ
119名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)14:55:17 ID:Cze

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-119.png
※コラボ元:>>117
120名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)15:34:07 ID:7Mc
>>119
せいかーい!
121名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)15:38:27 ID:7Mc
二十三問目!
二十問目から二十二問目を一般的に、
n>=3のとき正方形状に配置されたn^2個の点は
2(n-1)個の連続する直線で結べることを説明してね
122名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)19:05:22 ID:Z8Z
自然数変数 n についての条件「 正方形状に配置された n×n 個の点は、『 最後の線は左端の三点を上から下に向かって結ぶ線である 』を満たすような
2(n-1) 個の直線で結ぶことができる 」が、3 以上の全ての自然数に対して成り立つことを数学的帰納法で説明する。

(1) n = 3 の場合、>>111 より明らかに正しい。
(2) n = k(≧3) の場合に成り立つと仮定して n = k+1 の場合を考える。
(k+1)×(k+1) 個の点のうち、左上の k×k 個の点に注目する。仮定より、それらの点は、『 最後の線は左端の三点を上から下に向かって結ぶ線である 』を
満たすような 2(k-1) 個の直線で結ぶことができる。最後の線を (k+1)×(k+1) 個の点のうちの左下の点まで伸ばす。そうすればあと 2 個の線で下端と
右端の点を結ぶことができる。よって、2(k-1) + 2 = 2k 個の連続する直線で (k+1)×(k+1) 個の点を結ぶことができる。以上より、n = k(≧3) のとき
条件が成り立つならば n = k+1 のときも条件が成り立つ。
(3) (1)、(2) より 3 以上の全ての自然数に対して条件は成り立つ。

以上より、n≧3 のとき正方形状に配置された n×n 個の点は 2(n-1) 個の連続する直線で結べる。
123名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)19:28:32 ID:Z8Z
>>122 は間違えた。
124名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)19:29:01 ID:7Mc
がんば
125名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)19:37:03 ID:Cze
感覚的には、n>=5なら、>>119を延長していけばいい話
126名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)19:46:29 ID:Cze
つまり、>>122とは逆に終点を真ん中3*3の一番左上の線で結べるとすればいい

始点についての過程はnは偶数か奇数かで場合わけ

偶数なら全体の一番右上、奇数なら全体の左下

そこから時計回りに外周から中へぐるぐる回っていけば5*5を残してかつその左下に点がくるようになるからそこからは>>119を使う(厳密には外へ延長すると説明すべきか?)
127名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)19:51:26 ID:Cze
黒がn=3
以下、赤青緑とnの値が増えていく
これを繰り返していけばいい
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-127.png
※コラボ元:>>117
128名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)20:07:28 ID:Z8Z
文章がぐちゃぐちゃだけど多分これでいいだろう

「 正方形状に配置された n×n 個の点は、n が奇数ならば 『 最後の線は左端の点を上から下へ結ぶ 』 を満たすような 2(n-1) 個の直線で結ぶことができ、
n が偶数ならば 『 最後の線は右端の点を下から上へ結ぶ 』を満たすような 2(n-1) 個の直線で結ぶことができる 」 を P(n) で表し、
これが 3 以上の全ての自然数で成り立つことを以下に書く。

(1) P(3) は正しい。
(2) P(k) (k≧3) が正しいと仮定し、P(k+1) の真偽を考える。
(k+1)×(k+1) 個の点を領域 A といい、領域 A の左上の k×k 個の点を領域 B といい、領域 A の左下の k×k 個の点を領域 C ということにする。
(2-1) k が奇数の場合、仮定より、領域 B の点は、『 最後の線は領域 B の左端の点を上から下へ結ぶ 』 を満たすような 2(k-1) 個の直線で結ぶことができる。
最後の線を領域 A の左下の点まで伸ばせば、あと 2 個の線で下端と右端の線を結べる。以上より、(k+1)×(k+1) 個の点を 2(k-1)+2 = 2k 個の直線で結ぶことができる。
また、k+1 は偶数であり、最後の線は右端の点を下から上へ結ぶ。
(2-2) k が偶数の場合、仮定より、領域 C の点は、『 最後の線は右端の点を下から上へ結ぶ 』を満たすような 2(k-1) 個の直線で結ぶことができる。
最後の線を領域 A の右上まで伸ばせば、あと 2 個の線で上端と左端の点を結べる。以上より、(k+1)×(k+1) 個の点を 2k 個の直線で結ぶことができる。
また、k+1 は奇数であり、最後の線は左端の点を上から下へ結ぶ。
以上より、P(k+1) は正しい。

以上より、3 以上の全ての自然数 n に対して P(n) は正しいから、n≧3 のとき正方形状に配置された n×n 個の点は 2(n-1) 個の連続する直線で結べる。
129名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)20:12:19 ID:Z8Z
(2-1)と(2-2)はk+1の偶奇で分けるべきだった
130名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)20:35:23 ID:7Mc
>>128
結構むずかったと思います!
正解です!
131名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)20:41:50 ID:7Mc
二十四問目!【全米数学オリンピック】
 4×7の28個のマス目をそれぞれ黒か白で塗る。
このマス目の中からある四マスが

全て同じ色で、それらを結ぶと長方形

となる4つを選び出すことができることを証明してね

 
132名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)21:14:59 ID:Cze
長くなるから少し分割

まず、行列同様に行と列て言葉を使う(横が行縦が列)
133名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)21:26:03 ID:Cze
ある列では白か黒が同数でないとする

このとき、その列で多く塗られた色(白と仮定)のうち三マスを任意に取る

すると、他の列ではその三マスと同じ三つの行においては少なくとも二つは黒で塗られなければならない

その二つの黒の塗り方は3(3C2)通りより、どこかの二列で黒く塗られた行が選んだ三行において一致する

つまり結ぶと長方形

(三行全部黒で塗るという方法もあるが、それでは他の列と明らかに黒く塗られた行が二つかぶる)
134名無しさん@おーぷん :2014/11/29(土)21:29:47 ID:Cze
上より、すべての列で白黒同数でないといけない

しかし、そのような白黒の選び方は6しかない

つまり、どれかの二列では塗り方がまったく一致する

それらを結べば長方形ができる

結局、7という数は鳩の巣原理の適用のための数である
135名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)00:59:11 ID:zbj
>>134
お見事!せいかい!
わかりやすい解答です
136名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)01:01:26 ID:zbj
次のは明日
137名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)09:28:28 ID:zbj
二十五問目
Q={1,2,3,4,......,98,99,100}とする
Qの部分集合で50個の異なる要素を持つRについて
x,yがRの要素で
x≠y
の時、
任意のx,yでx/yが整数にならない集合は存在するかな?
存在する場合は具体例を
存在しない場合は証明をしてね
138名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)09:30:37 ID:zbj
訂正

Q={1,2,3,4,......,98,99,100}とする
Qの部分集合で50個の異なる要素を持つRについて
x,yがRの要素で
x≠y
の時、
任意のx,yでx/yが整数にならない集合Rは存在するかな?
存在する場合は具体例を
存在しない場合は証明をしてね
139名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)17:34:24 ID:VPX
{n|51≦n≦100}
140名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)18:10:02 ID:zbj
>>139
せいかーい
141名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)19:02:00 ID:zbj
二十六問目【九州大学(改)・理系】
5円切手と6円切手の組み合わせとして買えない切手の金額はいくらか
142名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)19:04:35 ID:zbj
(補足)
つまり5円と6円で払えない金額はいくらか、ということ
必要だったら自然数n、m、など好きに使っていいよ
143名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)19:05:27 ID:zbj
(補足2)
使わない切手があってもいいよ
144名無しさん@おーぷん :2014/11/30(日)21:45:33 ID:VPX




こうかな
145名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)16:26:39 ID:aHx
>>144
正解です!
146名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)16:36:47 ID:aHx
二十七問目!
正八面体から1頂点Aを選ぶ。
この時、正八面体の面で、Aを頂点に持つ正三角形の4面を無限に拡大した時、
空間は体積無限大の領域によっていくつかに分けられる。
さてこの時、体積無限大の空間はいくつできるかな?
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-146.png
147名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)18:54:49 ID:9f7
二十二問目のやつ考えてたらもうこんなに進んでいた
148名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)20:13:14 ID:zTr
>>14
149名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)20:14:03 ID:zTr
ミス
>>146の答えが14
150名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)20:26:56 ID:aHx
>>149正解!まさかこんな早く答えが出るとは

>>146の正方形の底面が対称性から六個あって
それの配置のしかたをかんがえるよ

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-150.png
151名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)20:32:00 ID:aHx
こんな感じかな
絵心がなさすぎて書けないwww
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-151.png
※コラボ元:>>150
152名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)20:34:58 ID:aHx
二十八問目!
正八面体の各面を無限に延長させた時、
空間はいくつに分かれるかな?
153名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)21:38:10 ID:bHj
数え間違えてなければ59
154名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)22:55:49 ID:aHx
>>153
違うよ
155名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)23:04:37 ID:aHx
>>153
違くなかった
正解です!
ごめんなさい
156名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)23:07:24 ID:bHj
ちまちま数えただけだから、うまいやり方とかあるなら知りたい笑
157名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)23:13:02 ID:aHx
【解説】
(近くでみて)
正八面体の面を延長して行くと正四面体が8こ新たに出来る。
(遠くでみて)
各面が平行なので二十七問目で見た形に近づく
この時、各辺は二枚の板で構成されてるのと同じく、各辺と頂点につき
一個づつ分けられた領域がある。

よって求める個数は
1(もともとの八面体)+8(周りの四面体)
+14(二十七問に当たる領域)+24(二十七問目の立体の辺の数)
+12(二十七問目の立体の頂点の数)=59
158名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)23:15:32 ID:aHx
一応二十七問目が解けると>>151の絵と頭を考察するだけで答えが出る
159名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)23:17:38 ID:aHx
>>158
日本語が変になった
>>151の絵を見れば解けるって事
160名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)23:20:08 ID:aHx
次の問題は明日
161名無しさん@おーぷん :2014/12/01(月)23:49:41 ID:bHj
さんくす!
162名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)01:34:46 ID:DVp
何が何だか分からないww
163名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)02:29:54 ID:fN7
ヤバイ何か俺が考えてる正八面体と違うみたいだ(笑)
164名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)16:15:17 ID:kaR
二十九問目【東京大学】
正八面体のある面を下にして水平な机の上に置いた時、
机の上の正八面体を真上から見るとどのような形に見えるかな?
165名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)18:27:44 ID:rrh
正六角形だね

ちょっと作ってみる
166名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)18:52:14 ID:XTN
正八面体ってなんだよ(哲学)
167名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:22:13 ID:kaR
>>165
正解!
168名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:22:39 ID:kaR
正八面体人気だからもう一問
169名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:27:14 ID:kaR
三十問目
この問題では面とは周を含まない内部領域だとして考えるよ

正八面体の一辺を選び、その中点をMとする。
Mを出発して全ての面を通り、またMに戻ってくる経路をLとおく。
Lの長さの最小値がある場合はそれを求め、ない場合はない理由を説明してね
170名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)20:51:38 ID:kaR
正八面体一辺の長さは1ね
171名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:14:18 ID:VIp



2√3
172名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:31:34 ID:kaR
>>171
正解!
173名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:32:01 ID:kaR
次の問題は明日
174名無しさん@おーぷん :2014/12/02(火)23:51:13 ID:ur2
直線が最短になるんだねー
175名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)16:28:39 ID:Q4R
三十一問目
図のようにA〜Fを定める
ただし、0以上1以下のa,b,cについて
AF=a
BD=b
CE=c
となり、
a+b+c=1
を満たすとする
この条件の下でa,b,cが自由に動く時、△DEFの周(赤線)の通過領域を求めてね
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-175.png
176名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)16:29:25 ID:Q4R
三角形は正三角形で一辺の長さは1です
177名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)16:30:39 ID:Q4R
F、D、Eが正三角形の頂点に一致しても良いとするよ
178名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)17:17:04 ID:Q4R
D、E、Fが一直線上である時もD、E、Fは面積0n三角形をなしているとするよ
179名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)17:17:42 ID:Q4R
訂正
D、E、Fが一直線上である時もD、E、Fは面積0の三角形をなしているとするよ
180名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)19:18:31 ID:KcE
a=0
のとき直線EFは三角形ABCの全体を通過する。

よって三角形DEFの周辺の通過領域は三角形ABCの全体である
181名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)20:07:19 ID:Q4R
>>180
正解!
182名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)20:11:50 ID:Q4R
三十二問目!
三十一問目と同様に一辺1の正方形ABCDについて
a+b+c+d=1
となる場合、
四角形EFGHの通過領域を求めてね
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-182.png
183名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)20:13:16 ID:Q4R
四角形EFGH周の通過領域ね
184名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)20:34:21 ID:NEq
a=b=0のときGHの通過領域は三角形ACD
c=d=0のときEFの通過領域は三角形ABC
合わせて四角形ABCD
185名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)23:08:55 ID:NEq
問題
15人が毎日3人、4人、4人、4人ずつの4組に分かれて5日間ゴルフをするとき、どの人をとっても他のすべての人と1回ずつ同じ組になるような組み合わせを作れ
186名無しさん@おーぷん :2014/12/03(水)23:49:43 ID:Q4R
>>184
正解です!
187名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)00:12:08 ID:bUl



>>185
これでいいはず
188名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)00:12:53 ID:bUl
汚いから書き直す
189名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)00:18:12 ID:bUl



190名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)00:19:24 ID:bUl
>>182の続きは明日
191名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)00:25:34 ID:s8w
マネジメント能力あるわ(感心)
192名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)01:21:07 ID:v3T
>>189
正解!
193名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)01:42:03 ID:v3T



図において三つの円は同心円とする。
図中の各黒丸を人、直線で結ばれた3人及び四角形で結ばれた4人をそれぞれ初日の組とする。
黒丸を固定したまま直線及び四角形を72°時計回りに回転させると、新たな組分けができる。それを二日目の組とする。
同様に、144°回転したものを三日目、216°回転したものを四日目、288°回転したものを五日目の組分けとする。
すると、直線及び四角形の辺で、回転して互いに一致するものは存在しないので、全ての人は自分以外の人と高々一回しか組まない。また、3人組に入るのは全員一回ずつなので、合計(3-1)+(4-1)×4=14人の人と同じ組になる。よって、この組み合わせは>>185の答えとなる。

ちなみにこの方法で得られる組み合わせ(数字は改めて付け直した)↓

1,2,3 / 4,5,6,7 / 8,9,10,11 / 12,13,14,15
5,9,13 / 3,6,11,12 / 2,4,10,15 / 1,7,8,14
7,11,15 / 1,5,10,12 / 3,4,9,14 / 2,6,8,13
6,10,14 / 1,4,11,13 / 3,5,8,15 / 2,7,9,12
4,8,12 / 3,7,10,13 / 2,5,11,14 / 1,6,9,15
194名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)02:00:50 ID:Y0s
ファッ!?たまげたなあ…
195名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)18:50:20 ID:bUl
三十四問目
三十一問目について
a+b+c=x(0=<x=<1)だったとする
ある実数Nで
N>xの時、△DEFの周の通過領域は△ABC全体ではなくなり、
N=<xの時、△DEFの周の通過領域は△ABCの周と内部全体になったという。
この時Nを求めて、そうなる理由を説明してね
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-195.png
※コラボ元:>>175
196名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)19:34:32 ID:v3T
>>175のあとまさにこの問題考えたわw
197名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)20:32:10 ID:bUl
>>196
マジかww
198名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)22:19:53 ID:BZ6
>>196
まずは私の解答行ってみますね

解 N=1/2

a+b+c=x<1/2 ならば △ABCの重心を三角形DEFは通過しない
ゆえに第一の条件をみたす

a+b+c=x=>1/2 ならば △ABCの全体を通過する
ゆえに第二の条件もみたす
199名無しさん@おーぷん :2014/12/04(木)22:30:29 ID:bUl
>>198
△です
理解できてるとは思うのですが、それぞれの条件を満たす理由を
もう少し詳しく書いてください
200名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)00:02:35 ID:R6H
>>199

△DEFの3辺の通過領域Sは△ABEと△BCFと△CADの結びである。

従って
N=>1/2 ならば S=△ABC (第一の条件)

N<1/2 ならば S≠△ABC (第二の条件)

どうだ
201名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)00:03:22 ID:R6H
あ、第一と第二逆だた
202名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)00:06:53 ID:R6H
追加で訂正
Nをxにしてお願いします
なにやっとるんだ私は
203名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)16:32:59 ID:L8J
>>200
正解!
204名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)16:41:58 ID:L8J
俺の解答はこんな感じ
空白ができる時、
一文字固定して他の2変数を動かせばN<=1/2であることが必要で、
中心を通る直線が2辺と交わる時、2変数の最小値が1/2より小さくならないことから、
N<1/2では必ず中心を通らない。よってN=1/2
205名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)16:50:31 ID:L8J
表現が適切じゃなかった
空白ができる時、
一文字固定して他の2変数を動かせばx<1/2であることが必要で、
中心を通る直線が2辺と交わる時、2変数の最小値が1/2より小さくならないことから、
x<1/2のとき中心は常に空白になる。よってN=1/2
206名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)16:55:03 ID:L8J
三十五問目
三十二問目において
a+b+c+d=x(0=<x=<1)だったとする
(1)ある実数Nで
N>xの時、□DEFGの周の通過領域は□ABCD全体ではなくなり、
N=<xの時、□DEFの周の通過領域は□ABCの周と内部全体になったという。
この時Nを求めてね(答えのみで良い)
(2)
a+b+c+d=1/3を図示してね(答えのみで良い)
207名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)16:55:57 ID:L8J
訂正

三十五問目
三十二問目において
a+b+c+d=x(0=<x=<1)だったとする
(1)ある実数Nで
N>xの時、□DEFGの周の通過領域は□ABCD全体ではなくなり、
N=<xの時、□DEFGの周の通過領域は□ABCDの周と内部全体になったという。
この時Nを求めてね(答えのみで良い)
(2)
a+b+c+d=1/3を図示してね(答えのみで良い)
208名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)16:57:46 ID:L8J
また訂正何回もごめん
三十五問目
三十二問目において
a+b+c+d=x(0=<x=<1)だったとする
(1)ある実数Nで
N>xの時、□EFGHの周の通過領域は□ABCD全体ではなくなり、
N=<xの時、□EFGHの周の通過領域は□ABCDの周と内部全体になったという。
この時Nを求めてね(答えのみで良い)
(2)
a+b+c+d=1/3を図示してね(答えのみで良い)
209名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)21:14:43 ID:xvQ
(1)N=1

よーするにこれって辺の動きかたを調べればいいんだよね?
210名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)21:21:40 ID:L8J
>>209
正解!
結局そういうことなんだけどね
211名無しさん@おーぷん :2014/12/05(金)21:22:02 ID:L8J
(2)も問いてね
212名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)03:28:48 ID:FC4




AE=BF=CG=DH=1/3
境界を含む
213名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)03:35:10 ID:FC4




違いました申し訳ない
214名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)11:31:41 ID:FKL
>>231
正解です!
215名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)11:32:30 ID:FKL
>>213の間違い
216名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)11:36:07 ID:FKL
二十六問目
1から19までの19個の整数から、ある1つの整数を取り除き
残り18個の整数の平均を求めると10になりました。
取り除いた整数はいくつでしょうか?
217名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)17:22:40 ID:1UQ
(1+19)*19/2=190なので10を取り除く
218名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)18:47:20 ID:FKL
>>217
正解!
白陵中学の入試問題でした!
219名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)18:54:42 ID:FKL
二十七問目
円周上に白と黒のどちらかで塗られたいくつかの点がある。
この時、これらの点で区切られる円弧の中で両端の色が異なるものの数は
偶数であることを証明してね
220名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)19:16:48 ID:7lK
すこーしも分からないわ♪
221竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/06(土)19:45:50 ID:0de
>>219
円を白黒の点で分割すれば、弧は常に2つ出来るから
(´・ω・`)y-~
222名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)23:23:19 ID:FKL
>>221
正解!
東京大学文系の問題でした!
223名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)23:23:41 ID:FKL
次の問題は明日の夜
224名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)23:34:25 ID:1XD
>>219

右回りで数える。始点を白としたとき「白黒」と「黒白」は同じ数だけ目撃されるはずである(白に戻ってこないといけない)
から
「白黒」+「黒白」=偶数
この議論は始点を黒としたときにも当てはまるから題意の事が言える
225名無しさん@おーぷん :2014/12/06(土)23:42:46 ID:FKL
>>224
好きな点を一点選んだらその点を左端に持つ円弧と右端に持つ円弧は同数
故に偶数
でもいいね
226竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/07(日)02:17:20 ID:4R1
正解なの?!やったー!東大入試ガンバるぞー!
な〜んて、遠い昔学士を取得した俺には
縁のない話だな
(´・ω・`)y-~
227名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)17:00:42 ID:mSk
勝手に出題
三角形ABCが与えられたとき、BP=PQ=QCとなるようなAB上の点P及びAC上の点Qを作図する方法を述べよ。
228名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)18:12:11 ID:8z4
まずは三角形を書く
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-228.png
229名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)18:17:47 ID:8z4
こうなれば良い
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-229.png
※コラボ元:>>228
230名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)18:20:40 ID:8z4
点Pを中心とする半径PQ=PBの円が存在する
点Qを中心とする半径PQ=QCの円が存在する
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-230.png
231名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)18:29:48 ID:8z4
詰まった。。
232名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)20:25:42 ID:M0G
できない、、、
233Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/07(日)21:18:34 ID:zSU
平面座標に置き換えればいけるだろって思ってたけど歯が立たなかった。。
234名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)21:38:23 ID:M0G
何を示せばいいかは分かったけどそれが出来ない
235名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)21:45:55 ID:mSk
ではちょっとだけヒント
>>230の一行目まではいい発想
解答を得るにはもう一つ、二つ思いつきが必要です
236名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)22:58:29 ID:M0G
俺に問題はこれが解決してからね

それにしてもむずい
237名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)23:23:22 ID:M0G
>>236
ちょっと日本語変になった
238Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/07(日)23:25:46 ID:SQs
ああああ作図メモが増える一方で進まないw
239名無しさん@おーぷん :2014/12/07(日)23:48:07 ID:M0G
意見共有した方がいいかな
240Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/08(月)00:02:20 ID:oYw
諦め気味…orz
241227 :2014/12/08(月)00:11:26 ID:mLs
>>227です
このまま正解がでなければ明日の夜ぐらいに発表しようと思います

ヒント追加
(こちらで用意している)解答は、中学一年生レベルの知識があればBP=PQ=QCとなることは一目瞭然となる作図方法です。難しい幾何知識は必要ありません
242Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/08(月)00:18:48 ID:oYw
脳内作図しながら仕事に励みます(´・ω・`)
諦めたと言いつつ諦めきれない…
243竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/08(月)00:21:43 ID:6Jh
BC上に点Rをとり、PQRは正三角形となるように考える。
つまり線分BPを線分PRになるように考えると…
(´・ω・`)y-~
244名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)00:21:54 ID:5sZ
俺ももうちょっとがんばろう
245名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)01:16:12 ID:mc9
寝ますよー寝る寝る・・・(白旗)
246竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/08(月)11:52:21 ID:PRd
これは三角形ABCは二等辺三角形じゃないと
出来ないんじゃね?
それとも出来るの?
(´・ω・`)y-~
247名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)12:36:06 ID:mLs
>>246
任意の三角形に対して、同じ操作を施すことにより条件を満たす点P,Qを得ることが可能です
鋭角、鈍角なども関係ありません
248名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)18:23:18 ID:5sZ
ぐぬぬ
249Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/08(月)19:33:16 ID:lxx
ぐぬぐぬ、、
250名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)19:37:54 ID:5sZ
有限回だよな、、、
251Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/08(月)19:42:37 ID:lxx
紙を三角形に切って折り紙しながら考えるフェーズに突入しますた。。
252名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)22:57:51 ID:mLs
みなさん楽しんでいただけたようで笑
では解答発表です。
253名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)22:58:09 ID:mLs
①AB上の点P'を適当に取る。(点Bに近いほうがあとあと作図しやすい)

②半直線CA上にCR'=BP'となる点R'をとる。




(図のQ'はR'の間違いです)

③点P'を中心とする半径BP'の円と、点R'を通るBCと平行な直線との交点のうち点R'に近いほうを点Q'とする。

④点Q'を通るACと平行な直線とAB,BCとの交点をそれぞれ点A',C'とする。





⑤点Cを通るC'P'と平行な直線とABとの交点をP、BQ'とACとの交点をQとすればよい。




254名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)22:58:31 ID:mLs
解説
四角形Q'C'CR'は平行四辺形であり、またBP'=CR'なのでBP'=P'Q'=Q'C'
三角形ABCと三角形A'BC'は相似であるので、④までに得られた点P',Q'を相似拡大(縮小)すれば点P,Qが得られる。⑤はその相似変形のステップである。
255名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)23:02:01 ID:mLs
なお、点P,Qが辺上に収まらないケースのことを考えると、問題文を正しくは「半直線BA、半直線CA」とすべきでした。失礼しました。
256名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)23:20:11 ID:5sZ
なるほど〜
うまいこと考えてあるな
作図の特性を活かしたこういう解法を思いつかなかったのは悔しい
3、4時間考えたのに、、、
257名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)23:28:59 ID:5sZ
次の問題は出題者がいなければ明日の夜
問題持ってる人はどんどん出してってねー
258Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/08(月)23:30:30 ID:oYw
相似だしBP=PQ=QCになってる!!!!!すげええ
(与えられた手順で2回確かめてみますたw)
お主、やるなぁ〜
259竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/08(月)23:32:44 ID:YCI
俺が想定していた答えよりも複雑で難しい…
それにしても良い問題だな
(´・ω・`)y-~
260名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)23:34:38 ID:5sZ
考え方はシンプルだよなー
俺もなかなかの良問だと思う
261Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/08(月)23:43:30 ID:lxx
人生で一番難しい作図でした。。
262名無しさん@おーぷん :2014/12/08(月)23:49:14 ID:mLs
6年以上前に友達から教えてもらった問題ですが、僕も大変感銘を受けて、いまだに解き方を含めて完全に記憶していました笑
簡単な幾何知識しか用いないにもかかわらず、解答への道程は非常に遠い、作図問題の中でも随一の良問だと思います。
263名無しさん@おーぷん :2014/12/09(火)18:23:25 ID:xUn
じゃあ俺の問題の続きを

二十九問目

A=1/9801
Bを00から99までの循環小数とする
(B=0.000102030405060708091011121314…………9798990001020304…………)

について
AとBの大小を比較してね
考え方も書いてね
264名無しさん@おーぷん :2014/12/09(火)18:24:16 ID:xUn
日本語変になった

二十九問目

A=1/9801
Bを00から99までの循環小数とする
(B=0.000102030405060708091011121314…………9798990001020304…………)

このとき
AとBの大小を比較してね
考え方も書いてね
265Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/10(水)00:13:37 ID:zXm
やっとBの意味が分かった。。
266名無しさん@おーぷん :2014/12/10(水)01:07:34 ID:EW5
100進法で考える。使う数字は0〜9およびa[10]〜a[99]の100個とする。
また、循環小数は、循環節を括弧でくくり1.(231)のように表記するものとする。

1÷a[99]=0.(1)

より、

A=1÷(a[99])^2
=0.(1)÷a[99]
=0.(01234...a[96]a[97]a[99])

また、

B=0.(01234...a[96]a[97]a[98]a[99])

であるので、A>B
267竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/10(水)03:10:49 ID:uFX
まともに正攻法で解いてみた
(´・ω・`)y-~

循環数のパターン0.0001.. 99をPとする
D=(100^(100))^(-1)とする

B = ∑( P * D^k )
重畳をとる
B = P + PD^1 + PD^2 + PD^3 ... + PD^k
B * D = PD^1 + PD^2 + PD^3 ... + PD^k + PD^(k+1)

つまり
fB1-D)=PD - PD^(k+1)
B=PD{ 1 - PD^(k) } / (1-D)
それでkを無限大にすれば
B=PD / (1-D) =P /(1/D - 1 )

1/(1/D-1)は1より小さいで ε < 1 として
B=P*ε =0.00010203..99 * ε
1/9801=0.00010203..990001...
なのでA>B
268名無しさん@おーぷん :2014/12/10(水)05:31:37 ID:DoM
C = 0.000102…969799 とおくと B<C
C = 1/100^2 + 2/100^3 + … +97/100^98 + 99/100^99
100C - C = 1/100 + 1/100^2 + … + 1/100^98 + 1/100^98 + 1/100^99
99C = (1 - 1/100^99)/99
9801・C = 1 - 1/100^99 < 1
C < 1/9801 = A
B<C<A
269名無しさん@おーぷん :2014/12/10(水)17:48:32 ID:cyj
>>267
>>268
>>269
正解です!
270名無しさん@おーぷん :2014/12/10(水)17:50:21 ID:cyj
Bの値は
計算が合ってれば
(1/9801)*(10^197-10)/(10^197-1)
になるよ
271名無しさん@おーぷん :2014/12/10(水)17:56:03 ID:cyj
三十問目〜

□に1から9までの整数をそれぞれ一回ずつ入れてください
□□□□×□=□□□□
272名無しさん@おーぷん :2014/12/10(水)17:57:17 ID:cyj
□□□□は四桁の整数をあらわすよ
273竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/10(水)17:57:49 ID:3Ms
>>269
自分自身も正解か
エキセントリックだな…
(´・ω・`)y-~

(レス番号がひとつズレたんだろな)
274名無しさん@おーぷん :2014/12/10(水)18:18:33 ID:cyj
>>273
ごめんなさいー
でもちゃんと読んでますよ
275名無しさん@おーぷん :2014/12/10(水)23:49:20 ID:cyj
結構むずいかな?
276Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/11(木)02:24:08 ID:eAk
ABCD×E=FGHIと虫食い部分を表記。

D×Eは10の倍数にならない
A×Eは9以下
Eは2以上
277Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/11(木)02:27:38 ID:eAk
(D,E)≠{(偶数,5),(5,偶数)}
278Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/11(木)02:36:51 ID:eAk
(A,E)={(2,3),(2,4),(3,2),(4,1),(5,1),(6,1),(7,1),(8,1),(9,1)}
279Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/11(木)02:38:37 ID:eAk
(A,E)={(2,3),(2,4),(3,2),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9)}

こうだ。。
280Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/11(木)02:41:10 ID:eAk
うーむ正攻法なんてあるんやろか…。。
281Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/11(木)02:45:53 ID:eAk
>>278-279はいろいろとあかんな…
失礼しますた。。
282名無しさん@おーぷん :2014/12/11(木)07:12:20 ID:Bi0
1738×4=6952
1963×4=7852
283名無しさん@おーぷん :2014/12/11(木)18:21:36 ID:Qd7
>>282
正解です!
284名無しさん@おーぷん :2014/12/11(木)18:36:30 ID:Qd7
三十一問目
縦、横、斜めの合計が同じになるように空欄に自然数を記入してね
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-284.png
285名無しさん@おーぷん :2014/12/11(木)20:36:08 ID:Qd7
今回は前回より簡単
286名無しさん@おーぷん :2014/12/11(木)22:56:32 ID:GYI
49,32,30
18,37,56
44,42,25
287名無しさん@おーぷん :2014/12/11(木)23:29:16 ID:Qd7
>>286
正解!
288名無しさん@おーぷん :2014/12/11(木)23:29:48 ID:Qd7
次の問題は出題者いなかったら明日の夜
289名無しさん@おーぷん :2014/12/12(金)00:20:26 ID:9Hk
>>264
A = 1/9801 = 1/99^2

10^200*B-B = 1020304......9899 = Σ[k=1 to 100](100-k)*10^(2*k-2)
B = {Σ[k=1 to 100](100-k)*10^(2*k-2)}/(10^200-1)

A-B = 1/99^2-{Σ(100-k)*10^(2*k-2)}/(10^200-1)
= {(10^200-1)-99^2*Σ(100-k)*10^(2*k-2)}/{99^2*(10^200-1)} ~ (*)式

ここで分子の第2項に着目すると、Σ(100-k)*10^(2*k-2) = 100*Σ10^(2*k-2)-Σk*10^(2*k-2)

等比数列の和の公式から、Σ10^(2*k-2) = (10^200-1)/99

公式Σ[k=1 to n]k*x^(n-1) = {n*x^(n+1)-n*x^n-x^n+1}/(x-1)^2 を利用すると
Σk*10^(2*k-2)
= (10^204-10^202-10^200+1)/99^2
= {10^200*(10^4-10^2-1)+1}/99^2 = (10^200*9899+1)/99^2 = (10^200*9899-9899+9899+9899+1)/99^2
= {(10^200-1)*9899+9900}/99^2

(*)式の分子は、(10^200-1)-99^2*[100*(10^200-1)/99-{(10^200-1)*9899+9900}/99^2]
= (10^200-1)-9900*(10^200-1)+(10^200-1)*9899+9900 = (10^200-1)*(1-9900+9899+9900) = 9900

ゆえに A-B = 9900/{99^2*(10^200-1)} = (100/99)/(10^200-1) > 0 または A > B
290名無しさん@おーぷん :2014/12/12(金)00:32:31 ID:9Hk
>>289 下から2行目の誤り訂正
...... = (10^200-1)*(1-9900+9899)+9900 = 9900
291名無しさん@おーぷん :2014/12/12(金)01:01:40 ID:9Hk
>>289 下から5行目の誤り訂正
......= (10^200*9899-9899+9899+1)/99^2
292名無しさん@おーぷん :2014/12/12(金)18:59:51 ID:NIh
>>289
位取りまではみてないけど多分正解です
8行目の公式には細かいミスがあるかな?
293名無しさん@おーぷん :2014/12/12(金)19:10:23 ID:NIh
三十二問目
3,3,8,8と四則演算を用いて24を作ってね
順番並び替え、かっこの使用は許容されるよ
294名無しさん@おーぷん :2014/12/12(金)22:00:57 ID:EXh
8/(3-(8/3))
295名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)00:04:17 ID:wDo
>>249
せいかーい
296名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)00:04:36 ID:wDo
次のは明日の夜です
297名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)00:09:28 ID:wDo
>>296
またミスった
>>294
298竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/13(土)08:59:03 ID:sQr
下図のような、縦20、横10のビリヤード台がある。
そこにポケットAを原点(0,0)とみたときに座標(5,4)に玉がある。
3回壁に当ててからポケットAに玉を入れるとき、最小の距離を求めなさい。
なお、ビリヤード台のポケットはAのみとする。

+----------+
|        |
|        |
|        |
|        |
|        |
| o      |
|        |
A----------+

(´・ω・`)y-~
299Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/13(土)12:57:31 ID:VoC
>>298
座標(5,4)てのは座標(縦、横)ですか?
300名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)13:13:47 ID:E81

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-300.png
301Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/13(土)13:16:36 ID:VoC
最小の距離= √(5^2 + 36^2)
AAの見た目で球の位置は縦=5,横=4と解釈
考え方は↓
歩きながら図を書いたので汚くてごめん



302Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/13(土)13:18:25 ID:VoC
横=5,縦=4なら
√(4^2 + 35^2)
303竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/13(土)15:16:18 ID:4Ks
>>301
>>302
正解です!
この問題は知ってたかな?
(´・ω・`)y-~
304名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)17:55:40 ID:E81
>>298
球が非弾性衝突をする場合はどうか?
たとえば反発係数 e = 1/2 の場合など
305名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)21:52:47 ID:wDo
>>304
壁との摩擦がないなら最小距離は変わらないんじゃない?
壁と摩擦ありなら動摩擦係数が無いと求められないと思う
306名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)21:57:18 ID:wDo
最短時間は求めるの難しそう
307名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)22:05:01 ID:wDo
あ、でも>>301より浅い角度で球を入射させる事が出来ないことを考えれば
最短時間も簡単だね
308名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)22:08:16 ID:wDo
あえて求めるなら初速1として
(1+1/2+1/4+1/8)t=√1242
309名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)22:24:52 ID:wDo
三十五問目!有名問題だから知ってる人多いかな

1gの硬貨が10枚入った袋が10個あるはずが、0.1gだけ軽い偽物の硬貨が10枚入った袋が
一つ紛れ込んでしまった

台ばかりを一回使ってどの袋に偽物が入っているか当ててね
ただし感覚では0.1gは分からないものとしてね
310名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)22:27:29 ID:wDo
台ばかりは0.1g単位で重さを測れるよ
311名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)22:30:03 ID:wDo
なんか語弊があるから補足
偽物の袋の数が1個
本物の袋の数が9個
312名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)23:25:56 ID:E81
>>305
非弾性衝突だと距離は伸びるように思う
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-312.png
313名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)23:36:14 ID:wDo
>>312
壁に沿った成分の摩擦が仕事しないなら
入射と反射は一緒じゃ無い
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-313.png
314名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)23:36:42 ID:wDo
ごめんミスった

壁に沿った成分の摩擦が仕事しないなら
入射と反射は一緒じゃ無い??
315名無しさん@おーぷん :2014/12/13(土)23:50:00 ID:E81
反発係数 e < 1 のとき、壁に垂直な速度成分は失われる
摩擦係数 μ = 0 のとき、壁と平行な速度成分は変化しない
入射角と反射角は等しくならない
316竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/13(土)23:56:08 ID:7JX
>>309
とりあえず10個全部を台ばかりに乗せて
ひとつずつ下ろしていく。
そのとき台ばかりの示す総量の減りで識別する。
このやり方は「一回」だけ台ばかりを使うとみなしていいの?
(´・ω・`)y-~
317名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:05:27 ID:hdi
>>316
ダメです
一回に置きたい分をいっぺんに置いてください
318名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:07:40 ID:R2b
>>309
袋に名前をつけて、それぞれ袋1、袋2、・・・とする
袋iからi枚取り出して、それらを全て台ばかりにのせる
すると偽物が混じっているので55gより軽くなっているはずで、また偽物一枚につき0.1gづつ軽くなるから、紛れている偽物の枚数がわかる
これにより偽物の袋が特定できる
319名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:08:00 ID:hdi
>>315
あ、そうだわ
馬鹿だったごめんよ
320名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:09:25 ID:hdi
>>318
せいかーい
解答知ってた?
初見で俺はさっぱりだった
321名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:11:09 ID:hdi
とりあえず>>304を考えるか
322竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/14(日)00:13:42 ID:krN
>>318
算数、数学パズルの問題ではないような希ガス
(´・ω・`)y-~
323名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:14:57 ID:R2b
>>320
うる覚えだったからちょっと考えたw
面白い発想だと思う
324名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:17:59 ID:hdi
>>322
ごめんぬ
でも数学に精通した人?には有名な考え方の問題って聞いたことがある
まあ俺にはよく分かりません。。。
325名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:23:25 ID:R2b
対角線論法を想起させないでもない
326名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:30:03 ID:Ilk
A氏は100万円をα銀行に預金する
α銀行は支払準備金として10万円を取り除けておき、残り90万円をB氏に貸し付ける
B氏は90万円をβ銀行に預金する
β銀行は9万円を除いて、残り81万円をC氏に貸し付ける
C氏は81万円をγ銀行に預金する
γ銀行は8万1000円を除いて、残り72万9000円をD氏に貸し付ける
(以下、同じ)

銀行預金の総額はいくらか?
327名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)00:55:46 ID:R2b
10で割り切れなくなったときの裁定と、何円になるまで続けるのかが分からない
328Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/14(日)01:22:30 ID:yf0
百万円=Mとして、
α銀行→0.1M
β銀行→0.9*0.1M
γ銀行→0.9*0.9*0.1M
δ銀行→0.9*0.9*0.9*0.1M

なので、
銀行預金の総額は
lim n→∞
Σ[i=0 to n]{( (0.9)^i )*0.1M}


的な感じですかね。
329名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)01:30:05 ID:Ilk
>>327 無限に続ける。この世の終わりまで続ける

>>328 不正解
330名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)01:36:08 ID:R2b
1000万
331Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/14(日)01:38:46 ID:yf0
ん、立式もバツなの?
332名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)04:32:48 ID:Ilk
>>330 正解
333竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/14(日)06:52:04 ID:Los
>>331
ハイパワードマネー
貨幣乗数
で、ググってみよう
(*´∇`*)
334名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)07:19:28 ID:ZkR
>>331
A氏 … 1000000 円を預ける
B氏 … 1000000*0.9 円を預ける
C氏 … 1000000*(0.9^2) 円を預ける
D氏 … 1000000*(0.9^3) 円を預ける

だから、( 銀行預金総額 )
= Σ[k=0…∞]( 1000000*( 0.9^k ) ) = 1000000 ÷ ( 1-0.9 ) = 10000000 ( 円 )
ということだろう。
ハイパワードマネーは知らん
335名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)08:06:51 ID:ZkR
よくよく考えたら小数点以下をどうするかで答えが変わるかも。
支払準備金が預金の 0.1 倍 ( 小数点以下切り捨て ) の場合、∞ 円になる ( 途中から支払準備金が 0 円になる )。
http://ideone.com/UQp6zl
336名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)11:50:09 ID:hdi
三十七問目!
任意の鈍角三角形は有限個の線分によって幾つかの鋭角三角形に分割されることを証明せよ
337Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/14(日)11:51:00 ID:yf0
>>333-335
ハイパーサンクス
立式合ってて泣いた。。
338竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/14(日)12:02:14 ID:ewX
鈍角を180ーε、ε>0とする
これを二分するように鈍角の点と
それを構成しない辺に線分を引く

そうして出来た三角形の角度は
90ーε/2なの鋭角となる
これを繰り返せば設問の所為が可能

合ってる自信が無いな
(´・ω・`)y-~
339名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)12:15:52 ID:hdi
>>338
解答には有限性の証明を入れてください
340竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/14(日)12:31:30 ID:ewX
>>339
そうだよな、こんなに簡単な訳無いもんな…
(´・ω・`)y-~
341名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)16:51:36 ID:hdi
今回はかなりムズイ
342名無しさん@おーぷん :2014/12/14(日)19:42:52 ID:hdi
(1)ある鈍角三角形で具体的に分割の仕方をさがしましょう
(2)それが任意の三角形で成り立つにはどうすればいいか考えましょう
343名無しさん@おーぷん :2014/12/15(月)08:57:10 ID:eYL



いちおうできたけどかなり説明が面倒臭そう・・・
もしかしたら他にいい分割があるのかね
344名無しさん@おーぷん :2014/12/15(月)08:58:07 ID:eYL
絵が雑くて鈍角三角形が紛れてるけど気にしないw
345名無しさん@おーぷん :2014/12/15(月)17:28:27 ID:J9R
>>344
(1)は正解です!
このように線を引く手順を考えましょう
やり方は幾つもあるので具体的な一個を求めればいいです
346名無しさん@おーぷん :2014/12/15(月)17:32:41 ID:J9R
>>344はだいぶ絵が際どいけど形があってるから正解です
こういう形だと考えやすいかな?
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-346.png
347名無しさん@おーぷん :2014/12/15(月)18:28:35 ID:eYL
>>346
下の三角形がある程度小さくないと、その隣の三角形が鈍角になる可能性がある、と思って
348名無しさん@おーぷん :2014/12/15(月)18:40:11 ID:J9R
>>374
そんなことないです
したの三角形を小さくしすぎると両隣の三角形が鈍角になります
349名無しさん@おーぷん :2014/12/15(月)18:40:58 ID:J9R
両隣の隣の三角形のことね
350名無しさん@おーぷん :2014/12/15(月)18:43:10 ID:J9R
(2)もかなり難しい
できる人殆どいないと思うから明日まで正解なかったら明日の夜正答発表です
351名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)09:02:19 ID:jHk
久しぶりに見たらずっと進んでた
352名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)12:37:16 ID:jHk

果てしなく長い解説が必要だけど一応できた

まず、任意の鈍角三角形は直角三角形二つに分割できるので鈍角の部分を直角に変えてもよい
353名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)12:59:00 ID:jHk




これは、すべての直角三角形で考えられる

上のピンク三角形と、五角形の頂点から青い丸へ線を引いてできた三角形たちがすべて鈍角であるようにできる(図はそうでないように実際に構成するのは非常に難しいができることを示せればいい)

そのためには、αやβの角度をさらに小さくして、その後に青丸の場所を決めるためのピンクの線の長さを非常に短く取る必要がある(どちらかが抜けていても駄目だしピンクの線の長さはαやβにも依存する)

なぜすべて鈍角になるかは、いちいちやっていったら分かるはず(角度の変化を関数は連続関数と出来得るから実数の連続性とあわせていけるはず)
354名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)18:23:47 ID:Kih
>>335
多分正解です!

そのやり方を参考に自分流に定性的な解答を作りました

355名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)18:24:11 ID:Kih









356名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)18:25:23 ID:Kih
順番ばらばらになった
整理番号を参考に順番に読んでください
357名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)18:28:23 ID:Kih



全体
358名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)18:29:51 ID:Kih
吹き出しの矢印の先が変なとこ言ってるけど気にしないで
359名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)18:34:59 ID:Kih
【別解】
1内接円を作る
2二等辺三角形になるように接線をひく

下図のようにθ、φとかおけば簡単に全てが鋭角三角形であることが示せる(省略)

90-θ/2とか45+θ/2とか言った角がいっぱいでてくるよ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-359.png
360名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)18:48:52 ID:Kih
三十八問目
有名問題

〈この文には0がA個、1がB個、2がC個、3がD個、4がE個、
5がF個、6がG個、7がH個、8がI個、9がJ個、含まれます〉

A~Jを求めよ
361名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)18:50:00 ID:Kih
「この文」は〈〉内でのみ有効
362名無しさん@おーぷん :2014/12/16(火)20:23:44 ID:Kih
A~Jは算用数字
363名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)00:52:55 ID:ULK
Aから順に1732111211
唯一解なのかな?
364名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)17:33:06 ID:PgF
>>363
せいかーい
唯一解かはよくわからんけど多分そうだと思う
365名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)17:47:16 ID:PgF
三十九問目

「彼女は一昨日、19歳でした。そして来年には、22歳になります。」

今日は何月何日?
366名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)17:56:35 ID:PgF
ミス
こうだな
三十九問目

「彼女は昨日、19歳でした。そして来年には、22歳になります。」

今日は何月何日?
367名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)18:02:52 ID:PgF
ちょっと待てよ
年齢が変わる時刻が設定されてないとこの問題解けないか……
368名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)18:04:21 ID:PgF
ごめんなさい
怪しいから他の問題出します………
369名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)18:32:40 ID:PgF
三十九問目
有名問題だけど

1000個のon/offスイッチがあり、全てのスイッチに
1番から1000番までの番号が順番に振られている。
次の動作をする時、最終的にonになっているスイッチはいくつか。

 ・1の倍数のスイッチを切り替える(onをoffに、offをonにする)
 ・2の倍数のスイッチを切り替える
 ・3の倍数のスイッチを切り替える
           :
 ・999の倍数のスイッチを切り替える
 ・1000の倍数のスイッチを切り替える
370名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)19:29:26 ID:s4b
1000個のスイッチの初期状態は不定だということでしょうか?
371名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)19:43:42 ID:PgF
>>370
最初は全部OFFです
説明不足でした
372Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/17(水)19:50:25 ID:yIs
初期状態が不定の時…

スイッチの番号Nの初期状態をST[N]とし、スイッチがONの状態を1,スイッチがOFFの状態を-1とする。

ST[N]に>>369の動作を実行する。
Old_ST[N] = ST[N]とし、求める状態をNew_ST[N]とするならば、

New_ST[N] =Old_ST[N]×F(N)となる。

ここでF(N)とは
Nの約数が奇数ならば-1
Nの約数が偶数ならば1
となる関数である。
従って、Nの約数が奇数であるスイッチは初期状態と反転し、Nの約数が偶数であるスイッチは初期状態のままである。
373Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/17(水)20:05:51 ID:yIs
Nが平方数の時は約数の個数が奇数となるのでスイッチの初期状態が反転
Nが平方数以外の時は約数の個数が偶数となるのでスイッチの初期状態は不変

なのかな。
http://cute.sh/solairo/g/001.html
374名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)20:06:13 ID:PgF
>>372
初期状態は全部OFFです
375名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)20:07:36 ID:PgF
>>373
そうなります
一応数学的な証明を
376Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/17(水)20:45:44 ID:yIs
整数論苦手なり…涙
377名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)20:57:49 ID:PgF
>>376
知ってれば簡単に証明出来るんだけどね……
受験数学覚えてないとキツイかも
378Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/17(水)21:02:05 ID:yIs
Nが平方数の約数の個数が奇数になる。


N=(Ak)^2を満たすAkが一つ存在している
Nの約数を{A1,A2,...Ak,...,An-1,An}とした時、
A1×An=N
A2×An-1=N
のように異なる二つの数でペアを取ることが出来る。
ところがAkに限り
Ak×Ak=Nとなるので異なる二つの数でペアを取ることが出来ない。


うーん、これじゃ怒られる笑
379Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/17(水)21:05:23 ID:yIs
>>378
いろいろアバウト過ぎ…と自分で突っ込む。。
380名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)21:20:03 ID:Kgx
約数の数が奇数であればONになる
Nを素因数分解して  N=(p_1^a_1)(p_2^a_2)…(p_n^a_n) となったとする
(p_kは素数、a_kはその指数)
約数の数は(a_1 + 1)(a_2 + 1)…(a_n + 1) で、これが奇数になればよい
a_1, a_2, … a_n がすべて偶数になればよいので Nは平方数
ONになるスイッチは、1^2, 2^2, …,31^2 の31個
381名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)21:28:09 ID:s4b



382名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)21:35:55 ID:PgF
>>378
それは十分性の証明ですな
論理が逆なので不正解です
383名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)21:37:09 ID:PgF
>>378
でも逆の証明自体はそれでもあってると思います
384名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)21:38:08 ID:PgF
>>380
正解です!
385名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)21:40:36 ID:PgF
>>381
どうやって見るの?
386名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)21:42:42 ID:PgF
次の問題は誰もいなかったら今日の12時ぐらい
387Awn◆Awn/Awn/W615 :2014/12/17(水)21:45:49 ID:rTf
N列目がNの倍数のスイッチを押すアクションで、
M行目がM番目のスイッチって感じかね
一番右の列が答えの状態、的な?
388名無しさん@おーぷん :2014/12/17(水)22:02:54 ID:PgF
>>387

961行目が色塗られてるのは何でだろ?
389名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)00:44:36 ID:mYz
四十問目
あるホテルは500号室ある
部屋番号に4と9は使わない
このとき500番目の部屋は何号室か
390竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/18(木)04:27:00 ID:wfv
>>389
解くのはバカ正直にやれば解けるから
進数を変えるとか、解き方が大事じゃね?
(´・ω・`)y-~
391名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)04:52:39 ID:hu4
八進数だね

500(10進数)=764(八進数)

普通十進数では8と9を考えないけれど、ここではそれが4と9になっている

つまり、7を8に、6を7に、4を5に変える必要があるから答えは875かな
392名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)04:53:29 ID:hu4
十進数ではなくて八進数では考えないの間違い
393名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)06:50:27 ID:krG
>>389
256号室!
394393 :2014/12/18(木)07:06:06 ID:krG
問題を読み間違えた…。
256番目が500号室というだけだった。
500番目は確かに875号室だね。
395名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)18:57:24 ID:mYz
>>391
>>394
せいかーい
八進数の問題でした
396名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)19:46:51 ID:mYz
 四十一問目
円の中心が支点となる円周上の天秤に12枚の皿が等間隔に配置されている
 重さ1gの5個の重りを皿の上に置いて、天秤が傾かないような配置を答えよ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-396.png
397名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)19:48:51 ID:mYz
補足
・同じ皿に二つ以上重りをおいてはならない
・◼︎が皿で赤点が支点
398名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)22:21:33 ID:E60

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-398.png
※コラボ元:>>396
399名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)22:23:10 ID:mYz
>>398
せいかーい
400名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)22:26:59 ID:mYz
答えみれば明らかかな
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-400.png
401名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)22:39:23 ID:mYz
次のは出題者いなかったら明日の夜
402名無しさん@おーぷん :2014/12/18(木)22:50:40 ID:E60
俺には答が明らかじゃなかったので真面目に計算してずいぶん遠回りした

半径 r[i]  i=1, 2, 3,......12
おもり f
外力のモーメント Σ[i=1...5](r[i]×f) = 0

分配法則が成り立つので (Σr[i])×f = 0
f <> 0 だから Σ[i=1...5]r[i] = 0
403竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/19(金)20:50:26 ID:lWq
>>400
今更だがリア中の俺なら卑猥っぽいと捉える画像だな
スレチなのでsage
(´・ω・`)y-~
404名無しさん@おーぷん :2014/12/19(金)20:51:57 ID:sXc
>>403
ん?
405名無しさん@おーぷん :2014/12/19(金)20:53:28 ID:sXc
四十二問目
 芯の直径が4cmでロールの直径11cm、ロールの長さ60m
のトイレットパーパーは何回巻き出あるか。答えは分数で良いよ
406竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/19(金)21:33:51 ID:lWq
>>404
ま○このシンボルマークに似てない?
(*´∀`*)
>>405
答えに円周率πが出てこないかい?
407名無しさん@おーぷん :2014/12/19(金)21:35:53 ID:sXc
>>406
どうでしょうか
408名無しさん@おーぷん :2014/12/19(金)21:36:14 ID:sXc
とりま答えてみてよ
409竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/19(金)22:23:01 ID:lWq
>>408
俺、この問題は多分知ってる
○マ大の数学科の問題だよね?

たしかトポロジーに通じるものがあって感動したので
覚えてる
(´・ω・`)y-~
410名無しさん@おーぷん :2014/12/19(金)22:33:06 ID:sXc
>>409
出展よくわからず出したけど調べたらそうみたい
2006/6/22に放送された問題だって
411名無しさん@おーぷん :2014/12/19(金)22:33:57 ID:sXc
答え知ってても解いていいよ〜
412名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)03:02:18 ID:c1r
n 回巻きであるとすれば、内側から k 周目の紙の長さ(円周)は 2 × ( 2 + ( 7k ) ÷ ( 2n ) ) [cm] となる。
下の数式を解けば n = ( 12000 - 7π ) ÷ ( 15π ) [ 回巻き ]。
まったく自信無いけど
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-412.png
413名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)10:31:07 ID:6oJ
>>412
それだとペーパーが渦巻き型出あることが考慮されてないけどほぼ同じ値になるので
正解です
414名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)10:36:45 ID:6oJ
トイレットペーパーの厚さをdcm、幅をH、nかい巻きとしてとして
6000dH=11・11・πHー4・4・πH
n=(11-4)/d=800/π
415名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)10:40:13 ID:6oJ
四十三問目
マインスイーパーを攻略せよ
(爆弾の位置をこたえてね)
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-415.png
416名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)10:41:02 ID:6oJ
補足
爆弾の数は6個
417名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)15:41:00 ID:0Ug

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-417.png
※コラボ元:>>415
418名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)15:45:21 ID:0Ug
訂正
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-418.png
※コラボ元:>>417
419名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)20:57:27 ID:6oJ
>>418
せいかーい!

鳩ノ巣原理より3+4=7だから⚫︎に爆弾がないといけない
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-419.png
420名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)21:01:48 ID:6oJ
四十四問目!(難問)
下図の格子上の線に沿って線を引き、下図の図形を二つの合同な図形に分けよ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-420.png
421名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)21:19:02 ID:Osb



できた
422名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)21:20:57 ID:6oJ
>>421
正解!
早いよw
423名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)21:29:05 ID:Osb
>>422
はじめて出題直後にこれたからついw
424名無しさん@おーぷん :2014/12/20(土)21:46:41 ID:6oJ
じゃあ次の問題は明日〜
425名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)10:42:41 ID:Ju7
四十五問目
穴が大好きなA君は数字の穴を見つけるとすぐ塗りつぶす癖がある。
4,6,9,0には穴が一個、8には穴が2個あるとする。
Aくんが1,2,………,10000まで穴を塗りつぶした時、
A君は合計何個の穴を塗りつぶした事になるか。
426名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)11:33:52 ID:BYH
一の位に1,000回づつ、十の位に100回づつ、百の位に10回づつ、千の位に1回づつ出てくる
(1000+100+10+1)×(4+2) = 6666
427名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)11:47:49 ID:Ju7
>>426
違います
428名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)11:53:49 ID:Ju7
>>426
たとえば1000から1099の100個は全て100の位に穴があるよ
429名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)16:59:50 ID:BYH
4、6、8、9は一の位に1000個、十の位に10×100個、百の位に100×10個、千の位に1000個
0は一の位に1000個、十の位に10×100-9個、百の位に100×10-99個、千の位に1個
8を2回数えることにして合計すると、22893個
430名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)17:36:58 ID:Ju7
>>429
せいかーい
431名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)17:41:55 ID:Ju7
別解
1~999は0を補ってすべて4桁にして10000は0000にする
0000、0001………9999には、
0,1,……,9が1000回ずつ出てくるので
1000×(1+1+1+1+2)×4個の穴があり、補った余計な0は
1000の位:999個
100の位:99個
10の位:9個
∴1000×(1+1+1+1+2)×4-999-99-9=22893
432名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)18:10:57 ID:Ju7
四十六問目
1辺2cmの正方形二つを、1つの正方形の頂点がもう片方の正方形の
中心に重なるように配置する。
重なっている部分の面積をもとめよ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-432.png
433名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)18:38:04 ID:KzY
「1」じゃねーのか!?        ドガガガガガガガガッ!!!
   ∩___∩        _ー ̄_ ̄)',  ・ ∴.' ,..
   | ノ      ヽ    --_- ― = ̄  ̄`:, .∴)'
  /  ●   ● | __, -'' ̄  = __――=', ・,' ←>>432
  |    ( _●_)  ミ""_-―  ̄=_  )":" .  ' |
 彡、   |∪|  __,,, _―  ̄_=_  ` )),∴. ) |
/     ヽノ  /    ―= _ ) ̄=_)   _),
(⌒)       /        _ _ )=  _) ,.
. ̄       /        _ _ )=  _) ,.
434名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)19:34:27 ID:Ju7
>>433
ファ⁉︎
理由も答えてね
435名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)19:37:59 ID:Ju7
「1辺2cmの正方形二つを、お互いに、正方形の頂点がもう片方の正方形の
中心に重なるように配置する」

って言う風に勘違いしたのかしら………?
436名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)19:41:51 ID:BYH
半円の面積 π*(√2)^2/2 = π
図中 s = (π-2)/4

求める面積は、π*(√2)^2/4 - 2*s = 1
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-436.png
437名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)19:41:52 ID:Ju7
もし場合わけとか、何かの関数になってるとか言うんだったら
自由に変数を導入していいよ
438名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)19:48:05 ID:Ju7
>>436
せいかーい!

こういうことだねー
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-438.png
439名無しさん@おーぷん :2014/12/21(日)19:49:45 ID:Ju7
続きは明日の夜〜
440名無しさん@おーぷん :2014/12/22(月)20:54:50 ID:S6n
四十七問目
<>にあてはまる語句を下の1〜4から選べ

(i)AがBの必要十分条件であることはAがBの必要条件であるための<>
(ii)AがBの必要十分条件でないことはAがBの必要条件であるための<>
(iii)AがBの必要十分条件でないことはAがBの必要条件でないための<>

1.必要条件であるが十分条件出ない
2.十分条件であるが必要条件でない
3.必要十分条件である
4.十分条件でも必要条件でもない
441名無しさん@おーぷん :2014/12/22(月)22:25:22 ID:9UJ
(i) 2
(ii) 4
(iii) 3
442名無しさん@おーぷん :2014/12/22(月)22:55:58 ID:S6n
>>441
ちょっと違う
443名無しさん@おーぷん :2014/12/22(月)23:00:27 ID:S6n
まあ番号の選び間違えだろうけど………
一応正解を待ちます
444名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)10:18:31 ID:m0n
(i) 2 (ii) 4 (iii) 4
445名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)10:22:36 ID:uco
241
446名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)12:21:01 ID:4Q3
>>445
せいかーい
447名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)12:21:50 ID:4Q3
(iii)は(i)の待遇命題
448名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)12:22:27 ID:4Q3
次のは今日の夜〜
449名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)22:05:43 ID:4Q3
四十八問目
点Aから矢印の書かれた赤い円盤(下図)を緑の円盤の円周に沿って滑らないように接しながら移動させる。
この時B点、C点での矢印の状態を図示せよ。
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-449.png
450名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)22:07:19 ID:4Q3
訂正
この時B点、C点での矢印の状態を図示せよ

接点がB点、C点にある時、矢印の状態を図示せよ
451名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)22:36:22 ID:uco
ほい
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-451.png
452名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)22:53:40 ID:4Q3
>>451
せいかーい
簡単すぎたかな?
外サイクロイドの問題でした
453名無しさん@おーぷん :2014/12/23(火)23:07:55 ID:4Q3
四十九問目
3*3の正方形と4*4の正方形でそれぞれ格子が書かれたものを用意する(下図)。
それぞれを格子に沿って二つの図形に切り分け、合計できた四つの図形を組み直して
5*5の正方形にすることは出来るか?

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-453.png
454竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/24(水)18:23:13 ID:46V
出来るとは思うけど…
(´ε`;)ウーン…
455竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/24(水)19:07:44 ID:46V
>>453
xxxxY
xxxxY
QxxxY
QQpYY
QQppp

久しぶりにGIMP触ったらレイヤーの縮小方法が分からない
なのでAAで答えさせてね
(´・ω・`)y-~
456名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)19:10:33 ID:kWr
>>455
正解!
457名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)19:12:58 ID:kWr
解法はいっぱいあるよ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-457.png
458名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)19:52:24 ID:kWr
五十問目!
同じ記号同士を結ぶあみだくじを完成させよ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-458.png
459名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)20:10:40 ID:SJH

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-459.png
※コラボ元:>>458
460名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)20:40:06 ID:kWr
>>459
せいかーい
461名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)20:41:49 ID:kWr
五十一問目!
同じ記号同志を結ぶあみだくじを完成させよ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-461.png
462名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)21:33:35 ID:SJH

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-462.png
※コラボ元:>>461
463名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)21:59:54 ID:qgw
阿弥陀籤には解くための一定の手順が存在するよね
464名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)22:14:09 ID:kWr
>>462
せいかーい

五十二問目
これはだいぶ面倒くさいと思うんだけど………あみだはこれで最後
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-464.png
465名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)22:28:29 ID:SJH

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-465.png
※コラボ元:>>464
466名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)22:45:14 ID:kWr
>>465
せいかーい
ついでにこれが最小解
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-466.png
467名無しさん@おーぷん :2014/12/24(水)22:46:39 ID:kWr
次のは明日〜
468名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)01:41:43 ID:KYC
んじゃあみだくじ繋がりで出題

Snをn次対称群とする。
σ∈Snに対し、次のようなσ-あみだくじを考える:
「n本の縦線を引いた後、上側には左から順に1,2,...,nと書き込み、下側にはσ(1),σ(2),...,σ(n)と書き込む」
うまく有限本の横線を引くことによりσ-あみだくじは実現可能である。よって、σ-あみだくじを実現するために必要な横線の最小本数m(σ)が存在する。
このとき、m(σ)の最大値と、最大値を与えるσを答えよ。
469名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)08:29:43 ID:2om
m(σ) の最大値が n(n-1)/2 で、そのときの σ は、σ(1) = n, σ(2) = n-1, σ(3) = n-2, … , σ(n) = 1

だろうか? >>459 を見るとそんな感じがする。
470名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)13:44:24 ID:KYC
>>469
まあ答えはそうなんだけどw
感覚的にでもいいからそうなることを説明できる?
471竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/25(木)14:05:56 ID:vjD
>>470
チカンだね
(´・ω・`)y-~
472名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)14:26:19 ID:KYC
>>471
一本の横棒は「隣り合う要素の互換」、あみだくじ全体の図は「互換の積」と考えられますね
473名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)16:06:27 ID:uwB
σ1,σ2,...σnって並べる
1<=m<=n,σ(m)=n
(m,n)=(m,m+1)...(n-1,n)とn-m個の互換の積で表せる
要するに、左からm番目のσmを一番右に移すにはn-m個横線があればいい
同様に、右から二番目、三番目とやっていく(ここで、横線は一番右に影響することはない。つまり、漸次やっていけば右から順に大きくなっていく)
ある一つの位置を動かす手順を繰り返しているから、これが一番効率的つまり最小
一番左を一番右に動かすのがもちろん一番多く互換の積を使う
それが延々と繰り返される、つまりσ1=n、σ2=n-1,...,σ(n-1)=2,σn=1となる時互換が一番使われる
その回数は1/2n(n+1)
これはくじの上下を逆さにして考えた訳で、答えはくじそのものにも同じく適用できる
474名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)16:12:38 ID:uwB
(m,n)=は間違い
書くのめんどくさいからσmをn番目にいかせる互換の一つて感じで解釈しといてください
475名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)21:24:27 ID:KYC
最大性の議論がちょっと怪しい気がするけど、正解ということで
476名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)21:29:56 ID:KYC



ちなみに画像のやり方で最小本数のあみだくじを作れることを知っていると、答えが>>469となることはよく考えると自明です
477名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)22:03:00 ID:S39
五十四問目
Aにおいてあるナイト(チェスのコマ)を全てのマスを通ってLまで移動させるときの道順を答えよ
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-477.png
478名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)22:05:35 ID:S39
参考
ナイトの動き
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-478.png
479名無しさん@おーぷん :2014/12/25(木)22:26:39 ID:6XY

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-479.png
※コラボ元:>>477
480名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)17:38:53 ID:vvP
五十五問目
12345678987654321×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1)
=□10^□□−□10^□+□

□に入る数字(0〜9)を答えよ
481名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)17:43:22 ID:vvP
>>479
正解!
482名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)17:43:55 ID:vvP
>>480はなるべく工夫して計算してね
483名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)17:45:15 ID:RSA
(10^9-1)^2
=1×10^18-2×10^9+1
484名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)18:38:24 ID:vvP
>>483
せいかーい
485名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)18:40:02 ID:vvP
五十六問目【京都大学】
x^7777+x^77+1はx^2+x+1で割り切れるか。
486名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)19:31:40 ID:RSA
f(x)=x^7777+x^77+1とする
f(ω)=ω+ω^2+1=0
f(ω^2)=ω^2+ω+1=0
よって因数定理よりf(x)は(x-ω)(x-ω^2)=x^2+x+1で割り切れる
487竜◆bt7yXkrz0A :2014/12/26(金)20:56:43 ID:2Cb
>>486
書いてある内容が理解出来ないんだが…
488名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)21:27:21 ID:Cof
ω^2+ω+1=0
ω^3=1

を使ってるね
ω=e^(2/3π)かe^(4/3π)
489名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)21:28:34 ID:Cof
指数にiつけ忘れてた
490名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)22:01:55 ID:vvP
>>487
x^3=1虚数解をωとおくと
x=ω,ω^2,1ってなることの利用
491名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)22:03:01 ID:vvP
>>486せいかーい
492名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)22:09:37 ID:vvP
別解
こっちの方が王道かな?
以下mod(x^2+x+1)で
x^2+x+1≡0
(x-1)(x^2+x+1)≡(x-1)*0=0
∴x^3≡1
f(x)=x^7777+x^77+1
=x^(3*2592+1)+x^(3*25+2)+1
≡x^2+x+1
≡0
493名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)22:17:31 ID:2Cb
>>488
>>490
複素数という意味でのオメガか。
理解したよ、ありが㌧
m( _ _ )m
494名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)22:40:40 ID:vvP
じゃあ江戸時代のパズルを
五十七問目!
【碁石拾い】
いずれかの碁石(○)をスタートとして、タテヨコに線の上を進んで碁石をすべてひろいましょう。
進んだ先に碁石がない場合、そのまま直進します。
進んだ先に碁石があったら、その碁石をひろわなければなりません。また、その場所では進む方向を変えることができますが、いま来た方向へは戻れません。
碁石は1回ひろうとなくなるので、碁石があった場所をもう一度通っても、そこで方向転換はできません。

例題↓

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-494.png
495名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)22:44:32 ID:vvP
いずれかの碁石(○)をスタートとして、タテヨコに線の上を進んで碁石をすべてひろいましょう。
進んだ先に碁石がない場合、そのまま直進します。
もうちょっとわかりやすく書く

進んだ先に碁石があったら、その碁石をひろわなければなりません。
また、その場所(碁石を拾った場所)では進む方向を変えることができますが、いま来た方向へは戻れません。
碁石を拾って向きを変えないのもOKです。
碁石は1回ひろうとなくなるので、碁石があった場所をもう一度通っても、そこで方向転換はできません。
496名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)22:45:30 ID:vvP
ミスった
もう一回

進んだ先に碁石がない場合、そのまま直進します。
進んだ先に碁石があったら、その碁石をひろわなければなりません。
また、その場所(碁石を拾った場所)では進む方向を変えることができますが、いま来た方向へは戻れません。
碁石を拾って向きを変えないのもOKです。
碁石は1回ひろうとなくなるので、碁石があった場所をもう一度通っても、そこで方向転換はできません。
497名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)22:47:51 ID:vvP
じゃあまずはこれから↓
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-497.png
498名無しさん@おーぷん :2014/12/26(金)23:24:09 ID:mpq

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-498.png
※コラボ元:>>497
499名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)09:19:59 ID:0xn
>>498
せいかーい
500名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)09:21:15 ID:0xn
次〜

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-500.png
501名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)10:06:11 ID:CWx



502名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)19:15:06 ID:0xn
>>501
せいかーい
503名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)19:16:02 ID:0xn
最後〜
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-503.png
504名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)20:17:11 ID:WTU
まじでできんのかこれ
505名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)21:03:26 ID:0xn
>>540
できるよ〜
上の方の処理がポイント
506名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)21:04:15 ID:0xn
結構むずいよ
507名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)21:12:49 ID:CWx

http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-507.png
※コラボ元:>>503
508名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)22:41:54 ID:0xn
>>507
おっ正解!
509名無しさん@おーぷん :2014/12/27(土)22:42:39 ID:0xn
次のは明日
510名無しさん@おーぷん :2014/12/28(日)10:15:18 ID:zLx
五十八問目
A,B,C,D,Eのキャンディーがそれぞれ20個ずつ、Fのキャンディーが12個、
Gのキャンディーが8個ある。
A~Gのキャンディーから異なる4個を取り出し、袋詰めにする。
この時、最大で何種類の袋詰めを作ることが出来るか。
511名無しさん@おーぷん :2014/12/28(日)13:01:30 ID:xKF
問題文がいまいち分かりにくいのだが
各袋に異なる種類のキャンディーを4個ずつ詰めて、30個の袋をつくるのか?
512名無しさん@おーぷん :2014/12/28(日)21:00:42 ID:zLx
>>511
そう
同じキャンディーのはいった袋は同じものと見なす
513名無しさん@おーぷん :2014/12/28(日)22:21:04 ID:zLx
>>512
袋に入れる種類は全て異なってなければいけないが
詰め合わせの組が同じなら同じ種類の袋と考えるっていうことね
514名無しさん@おーぷん :2014/12/28(日)23:53:44 ID:zLx
A,B,C,D,Eのキャンディーがそれぞれ20個ずつ、Fのキャンディーが12個、
Gのキャンディーが8個ある。
30個の袋を用意し、A~Gのキャンディーから異なる4個を取り出し、順番に袋詰めにしていく。
全ての袋に詰め終わった時点で、異なる種類の入った袋詰めは最大何種類出来るか。
515名無しさん@おーぷん :2014/12/29(月)13:46:58 ID:isz
A: 2^0=0000001=1
B: 2^1=0000010=2
C: 2^2=0000100=4
D: 2^3=0001000=8
E: 2^4=0010000=16
F: 2^5=0100000=32
G: 2^6=1000000=64 とおく
4個入った袋で最小値を取るものは、0001111=1+2+4+8=15、次に0010111=1+2+4+16=23、次に0011011=1+2+8+16=27、......

C(7,4)=7!/(3!4!)=35 ゆえキャンデーの袋は35通りできるはずである
キャンデーの総数は35通り×4個=20個×7種類=140個
ところが実際にはFのキャンデーは12個、Gは8個しかないので
1100000=32+64=96以上の範囲から8個、
1000000=64以上1011111=95以下の範囲から4個を落とす
したがって、35-(8+4)=23通り
516名無しさん@おーぷん :2014/12/29(月)13:47:31 ID:isz
15:0001111
23:0010111
27:0011011
29:0011101
30:0011110
39:0100111
43:0101011
45:0101101
46:0101110
51:0110011
53:0110101
54:0110110
57:0111001
58:0111010
60:0111100
71:1000111
75:1001011
77:1001101
78:1001110
83:1010011
85:1010101
86:1010110
89:1011001
90:1011010
92:1011100
99:1100011
101:1100101
102:1100110
105:1101001
106:1101010
108:1101100
113:1110001
114:1110010
116:1110100
120:1111000
517名無しさん@おーぷん :2014/12/29(月)22:09:01 ID:awb
>>515
よくわかんないです………
>1100000=32+64=96以上の範囲から8個、
>1000000=64以上1011111=95以下の範囲から4個を落とす

ここの根拠はなんでしょう………
518名無しさん@おーぷん :2014/12/29(月)22:09:17 ID:awb
あ、答えはあってます
519名無しさん@おーぷん :2014/12/29(月)22:56:45 ID:awb
とりあえず次の問題出しときます
誰か>>515を教えてください〜

五十九問目
 数列{a_n}:1,2,3,4,5,6,....,95,96,97,98,99,100

について、次のルールで、数を消していきます。
(1)最初に2から消し始める。次に、一つおきに、数を消していく。つまり(4,6,8,……,100が消える)
(2)端についたら、残っている数に対して、逆向きに(1)と同様のこと
を繰り返す。つまり、残っている端の数の左隣の数から消し始め、一つおきに数を消していく。
(この段階で97,93,89,.....9,5,1が消える)
(3) 端についたら折り返して以下同様に操作を繰り返す。

最後に残る数字はなにか。
520名無しさん@おーぷん :2014/12/29(月)23:01:59 ID:isz
>>517
袋の数を最大にするためには、FとGが一緒に入っている袋からまず減らしてゆくべきである
C(5,2)=5!/(3!2!)=10から、FとGが入っておりA~Eのうちの2つが入っている袋は10あることが分かるので、そこから8減らせる
同様にして、Fが入っておらず、GとA~Eのうちの3つが入っている袋は10あるので、そこから4減らせる
このようにしてFを12個、Gを8個にできる
521名無しさん@おーぷん :2014/12/29(月)23:49:10 ID:awb
>>520
サンクスそういうことか
俺のやり方とだいたい一緒だな
522名無しさん@おーぷん :2014/12/30(火)10:36:48 ID:sY6
2進数で考えると
10 100 110 ... 1100100が最初に消える
つまり、一の位が0である数が消える

残っている数は一の位を取り除くと(何もなくなったら0として)0から110001まで連続した数になる
97(10進数)=1100001(2進数)なので一の位を無視して考えると
110000 100001 ... 0(十進数でいう1に相当)が消える

これを延々と繰り返すと2のn乗の位が0である数はn回目の操作で消える
よって最後まで残るのは、1111111=63(十進数)
523名無しさん@おーぷん :2014/12/30(火)10:39:47 ID:sY6
100001じゃなくて101110だ
524名無しさん@おーぷん :2014/12/30(火)11:25:36 ID:vby
>>522
二進法で考えるのはあってると思うけど、少し違うな
二回目はたしかに2の位が0であるものが消える。残った数の下二桁(11)を無視してかくと
0,1,10,11,・・・,11000
よって次は4の位が1であるものが消える。

これを一般化し、100の代わりにnで考える。nが奇数のときN=n,nが偶数のときN=n-1として
N=Σ[j=0...k]b[j]*(2^j) (b[j]=0 or 1)
と二進展開されるものとする。

一回目:1の位が1であるものが残る
二回目:2の位がb[1]であるものが残る
三回目:4の位が0であるものが残る
四回目:8の位がb[3]であるものが残る
・・・
2m回目:2^(2m-1)の位がb[2m-1]であるものが残る
2m+1回目:2^2mの位が0であるものが残る(m≧1)

よって、残る数字をf(n)とすると
f(n)=1+Σ[j=1...k,j odd]b[j]*(2^j)
99=1100011(2)より、
f(100)=100011(2)=35
525名無しさん@おーぷん :2014/12/30(火)11:30:25 ID:vby
参考https://oeis.org/A090569

ヨセフスの問題の改題だね
526名無しさん@おーぷん :2014/12/30(火)21:25:42 ID:eTb
>>524
正解!
目から鱗出た
527名無しさん@おーぷん :2014/12/30(火)21:38:31 ID:eTb
六十問目
1円、5円、10円、50円を用いて1000円払う方法は何通りか。
ただし使わない硬貨があっても良く、それぞれの硬貨は十分にあるとする。
528名無しさん@おーぷん :2014/12/31(水)21:33:34 ID:qkr
計算量は多めだけど
手計算で普通にできるよー
529名無しさん@おーぷん :2014/12/31(水)22:37:25 ID:QMg
73871通り
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-529.png
530名無しさん@おーぷん :2015/01/01(木)11:36:53 ID:qbi
>>529
せいかーい
531名無しさん@おーぷん :2015/01/01(木)11:49:11 ID:qbi
1,5,10円で10n円払う方法は(n+1)^2通りであることが簡単に証明できる
50円の枚数でk枚の場合、
1,5,10円で1000ー50k=(100-5k)*10円払う場合の数は
(100ー5k+1)^2
50円のまいすうは0~20枚なので
全ての場合=Σ[1~20](100-5k+1)^2=73871
532名無しさん@おーぷん :2015/01/01(木)11:50:11 ID:qbi
最後の行訂正
全ての場合=Σ[0~20](100-5k+1)^2=73871
533名無しさん@おーぷん :2015/01/01(木)13:26:18 ID:8jp
s = Σ[k = 1...n] x[k]
  = x[1] + x[2] + x[3] + ...... + x[n-1] + x[n]

ただし、x[k] は0以上1以下の一様な乱数である。(0と1のあいだの値が平等な確率で現れる)

和 s が初めて1を超えたときの(s > 1 となったときの)乱数 x の個数 n の平均を計算すると
自然対数の底 e = 2.71828...... に近付くようであるが、その理由を説明せよ

「個数 n の平均」 → e = 2.71828......


(計算例)
0.12 + 0.34 + 0.56 = 1.02 > 1  合計が1を超えたときの乱数は3個
0.78 + 0.90 = 1.68 > 1  乱数は2個
平均は (3 + 2) / 2 = 2.5 (e = 2.71828...... に近付く?)
534名無しさん@おーぷん :2015/01/01(木)21:02:54 ID:qbi
お、新しい問題
535名無しさん@おーぷん :2015/01/01(木)22:54:11 ID:qbi
できない〜
ってか統計の知識ないと無理かな………
536名無しさん@おーぷん :2015/01/02(金)00:23:57 ID:ZAf
>>533
フーリエ変換してDouble Exponentialへ変化させる手法を
使わないってなると難しいな

ひょっとして算数数学「パズル」の範囲を超えてない?
537名無しさん@おーぷん :2015/01/02(金)01:44:45 ID:9wa
積分値で確率を求めてやれば、地道に計算するだけでも解けるね
538名無しさん@おーぷん :2015/01/02(金)22:18:16 ID:RPS
んー?
539名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)03:37:12 ID:Vsq
x[1] + x[2] + x[3] + ・・・ + x[n-1] + x[n] < 1 となる確率は
単位超立方体内のn次単体の体積で、 1/n!
(n+1)回目に始めて和 s が1を越えるには、
x[1] + x[2] + x[3] + ・・・ + x[n-1] + x[n] + x[n+1] ≧ 1 かつ
x[1] + x[2] + x[3] + ・・・ + x[n-1] + x[n] < 1 となればよい
この確率は
x[1] + x[2] + x[3] + ・・・ + x[n-1] + x[n] + x[n+1] ≧ 1 の確率から
x[1] + x[2] + x[3] + ・・・ + x[n-1] + x[n] ≧ 1 の確率を引けばよいから
{1-1/(n+1)!} - {1-1/n!} = 1/n! - 1/(n+1)! = n/(n+1)!

1回目で和 s が1を越える確率は0(1/∞)なので、求める期待値は
Σ[n≧1](n+1)・n/(n+1)! = Σ[n≧1]1/(n-1)! = e
540Awn◆Awn/Awn/W615 :2015/01/03(土)03:47:49 ID:iGW
最初の2行が肝ですな。だがどうやったら導出出来るのか理解できぬorz
541名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)03:50:46 ID:Vsq
>>539 訂正 s≧1と勘違いしてた
≧ 1 → > 1
< 1 → ≦ 1 (1/∞)も無しで

多重積分を使うと思うけど1/n!の計算は自分もよくわかりません
542名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)20:32:47 ID:xcy
確率密度関数f(z)=1 (0<=z<=1), f(z)=0 (z<0, 1<z)
x1<=zのとき、∫[0,z]du f(u)=z
x1+x2<=zのとき、∫∫[u+v<=z]du dv f(u)f(v)=∫[0,z]du f(u)∫[0,z-u]dv f(v)=∫[0,z]f(u)(z-u)du=z^2/2
x1+x2+x3<=zのとき、∫∫∫[u+v+w<=z]du dv dw f(u)f(v)f(w)=∫[0,z]f(u)du∫[0,z-u]f(v)dv∫[0,z-(u+v)]f(w)dw=z^3/3!
......
x1+x2+x3+......+xn<=zのとき、z^n/n!

z=1とおくと、x1+x2+x3+......+xn<=1のとき 1/n!

例えば、M台のコンピュータで同時に乱数を発生させたとき
2個目の乱数までで M(1-1/2) 台のコンピュータが1を超える
3個目の乱数までで M(1-1/3!) 台、4個目までで M(1-1/4!)台、...... (n-1)個目までで M(1-1/(n-1)!)台、n 個目までで M(1-1/n!)台
したがって、n 個目だけでは M(1-1/n!)-M(1-1/(n-1)!) = M(1/(n-1)!-1/n!) = M(n-1)/n! 台のコンピュータが1を超える
その確率は M{(n-1)/n!}/M = (n-1)/n!

1を超えるまでの乱数の個数の平均はΣ(個数)×(確率)なので
Σ[n=1......∞]n*(n-1)/n!
= 1(1-1)/1!+Σ[n=2......∞]n(n-1)/n!
=Σ[n=2......∞]1/(n-2)!
=Σ[n=0......∞]1/n!  (ここで (n-2) → n と置き換えた)
= e (= 2.71828......)

参考
http://repository.aichi-edu.ac.jp/dspace/bitstream/10424/3581/1/epsilon427583.pdf

出題内容がパズルの範囲を超えていたことを深くお詫びします
参考にしたサイトの内容を解読するのに時間がかかったのと
あわせて確率・統計の計算方法を即席で学習する必要があったたため、一応の解答を作るのが遅れました
543名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)20:47:58 ID:sSx
>>542
問題はパズルの範囲を越えていたけど
面白いな、これ
544名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)21:17:13 ID:OsE
1/n!の導出は俺の理解を超えてるな
545名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)21:47:09 ID:OsE
六十二問目
111110-abcde=edcba
のときcを求めよ

(注)a〜eは各位の数を表すよ
例えばa=1,b=2,c=3,d=4,e=5でabcde=12345
546名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)22:20:48 ID:NOP
百の位に注目すると、十の位の計算で繰上りがなかったらc+cは偶数より、百の位が奇数であることはない
つまり、bとdの和が繰り上がる。また、c=0又は5に絞られる

c=0ならば、b+d=11(bとdの和の一の位が1なので)
十の位に注目すると、一の位の計算でaとeの和が繰り上がることはないことが分かる
一方、明らかに千の位の計算からaとeの和は繰り上がる

よって矛盾するので、c=5である

実際に、111110-23578=87532等できる
547名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)22:21:58 ID:NOP
千の位の計算じゃなくて一万の位の計算だね
548名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)22:37:58 ID:OsE
>>547
せいかーい
549名無しさん@おーぷん :2015/01/03(土)22:43:10 ID:OsE
六十三問目(どっかの入試問題)

a,b,cを互いに異なる0で無い実数として、
ax^2-2bx+c=0
bx^2-2cx+a=0
cx^2-2ax+b=0
のいずれかは異なる二つの実数解を持つことを証明せよ
550名無しさん@おーぷん :2015/01/04(日)01:11:02 ID:R3C
異なる二つの実数解をもつものがないと仮定すると、各方程式の判別式から

b^2-ac≦0
c^2-ab≦0
a^2-bc≦0

∴a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≦0

ところが、

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
>0(∵a,b,cは相異なる実数)

よりこれは矛盾。よって、少なくともひとつは異なる二つの実数解をもつ
551名無しさん@おーぷん :2015/01/04(日)21:13:56 ID:39m
>>550
正解!
552名無しさん@おーぷん :2015/01/04(日)21:15:44 ID:39m
六十四問目
前問において、
三つの方程式は共通解を持たないことを示せ
553名無しさん@おーぷん :2015/01/04(日)21:18:02 ID:39m
言葉が悪いかな
全ての式を同時にみたす解が存在しないことをしめしてね
554名無しさん@おーぷん :2015/01/05(月)22:45:27 ID:Uep
中学生までの知識で解けるよー
555名無しさん@おーぷん :2015/01/06(火)19:23:00 ID:vVR
答え発表した方がいいのか……
556名無しさん@おーぷん :2015/01/06(火)20:36:14 ID:tTQ
あまり自信は無いけど

共通解x0を持つと仮定する
ax0^2-2bx0+c=0
bx0^2-2ax0+a=0
cx0^2-2ax0+b=0
3本の式を足し合わせると(a+b+c)(x0-1)^2=0、x0=1またはa+b+c=0
a+b+c=0とするとx0の値が不定となり、x0は共通解だとする仮定に反するのでa+b+c<>0, x0=1とする

x0=1を元の式に代入して
a-2b+c=0
b-2c+a=0
c-2a+b=0
第1式*2+第2式からa-b=0 またはa=b
第2式*2+第3式からb-c=0 またはb=c
第3式*2+第1式からb-a=0 またはc=a
a=b=c (<>0)
これはa,b,cが互いに異なるという条件に矛盾する
元の3本の方程式はいずれもx^2-2x+1=(x-1)^2=0という同一の式に帰着するので、共通解を考えることは無意味になる
557名無しさん@おーぷん :2015/01/06(火)22:13:09 ID:vVR
>>556
不正解です
>a+b+c=0とするとx0の値が不定となり、x0は共通解だとする仮定に反するのでa+b+c<>0, x0=1とする

a+b+c=0は必要条件なのでx0が不定になるとは限りません。
また、
例えば2x+y=1かつ4x+2y=2の答えは不定ですがx=1,y=-1のように共通解は存在します
558名無しさん@おーぷん :2015/01/06(火)22:14:06 ID:vVR
後半は正解です
559名無しさん@おーぷん :2015/01/07(水)05:08:33 ID:uEf
x0 = 1 が正しい場合 … >>556 の後半によって矛盾。

x0 = 1 が正しくない場合 ( a+b+c = 0 が正しい場合 ) …
b = -a-c であるから、
ax0^2 - 2(-a-c)x0 + c = 0,
(-a-c)x0^2 - 2ax0 + a = 0,
cx0^2 - 2ax0 - a - c = 0
が成り立つ。よって
ax0^2 +2ax0 +2cx0 + c = 0,
-ax0^2 -cx0^2 - 2ax0 + a = 0,
cx0^2 - 2ax0 - a - c = 0
が成り立つ。よって
2cx0 - 2ax0 = 0 ∴ (c-a)x0 = 0.
問題の仮定より c-a ≠ 0 であるから x0 = 0.
よって、a = b = c = 0 となって矛盾する。

いずれにしても矛盾であるから、共通解が存在するという仮定が偽となる。
よって共通解は存在しない。
560名無しさん@おーぷん :2015/01/07(水)19:47:28 ID:ouf
>>559
不正解です
代入した後の式が違う気がします
ax0^2 - 2(-a-c)x0 + c = 0,
(-a-c)x0^2 - 2ax0 + a= 0,←(-a-c)x0^2 - 2cx0 + a= 0の間違い?
cx0^2 - 2ax0 - a - c = 0
561名無しさん@おーぷん :2015/01/07(水)23:51:18 ID:ouf
特別なことしない普通の問題なんだけどな
対称性は崩すよ
562名無しさん@おーぷん :2015/01/08(木)00:23:24 ID:KQi
a+b+c=0のとき
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(bc+ca+ab)=0から、a^2+b^2+c^2=-2(bc+ca+ab)

与式の両辺にそれぞれa,b,cを掛けて
a^2x0^2-2abx0+ca=0
b^2x0^2-2bcx0+ab=0
c^2x0^2-2cax0+bc=0 を得る。これらを足し合わせて
(a^2+b^2+c^2)x0^2-2(bc+ca+ab)x0+(bc+ca+ab)=0
a^2+b^2+c^2=-2(bc+ca+ab)を代入して整理すると
(bc+ca+ab)(2x0^2+2x0-1)=0

bc+ca+ab<>0であるから(もし0ならa^2+b^2+c^2=0からa=b=c=0となる)、両辺をこれで割って
2x0^2+2x0-1=0 ; 共通解はx0=(-1+√3)/2, (-1-√3)/2

a=2, b=-1, c=-1とおくと元の3つの式は
2x^2+2x-1=0    解はx=(-1+√3)/2, (-1-√3)/2
-x^2+2x+2=0   解はx=1+√3, 1-√3
-x^2-4x-1=0   解はx=-2+√3, -2-√3
明らかに共通解は存在しないので、共通解が存在するとした仮定に矛盾する
563名無しさん@おーぷん :2015/01/08(木)00:24:38 ID:Tqg

564名無しさん@おーぷん :2015/01/08(木)00:25:25 ID:Tqg
スマホから書き込んだ気がするけど反映されないな
一応上の人とは別の考えで
565名無しさん@おーぷん :2015/01/08(木)01:10:02 ID:Tqg
abcの内いづれかは異符号(a+b+c=0)
c<0, a,b>0とする
式をそれぞれf,g,hとおくと(f=ax^2...,g=bx^2...,h=cx^2...)
f(-1)=b>0 f(0)=c<0
g(-1)=c<0 g(0)=a>0
ともに下に凸より中間値の定理からfとgの共通解は-1と0の間にしかない
一方、h(-1)=a>0 h(0)=b>0
hは上に凸よりこの間に解はない
以上より三式の共通解は存在しない

abcのおき方は任意だし、唯一の異符号が正であっても同様に矛盾が示せる
566名無しさん@おーぷん :2015/01/08(木)21:14:17 ID:rrH
>>565
正解!!
そんなやり方があったか
567名無しさん@おーぷん :2015/01/08(木)21:25:44 ID:rrH
>>562
正解です!!
このやり方が順当だと思います〜

a=2, b=-1, c=-1とおくと

※↑x0=(-1+√3)/2, (-1-√3)/2を満たすa、b、cは無数に存在する
(a=2k,b=-k,c=k)
ので十分条件となり厳密には不正解だと思います
まあ明らかとしても問題ない程度のことです※


元の3つの式は
2x^2+2x-1=0    解はx=(-1+√3)/2, (-1-√3)/2
-x^2+2x+2=0   解はx=1+√3, 1-√3
-x^2-4x-1=0   解はx=-2+√3, -2-√3
568名無しさん@おーぷん :2015/01/08(木)21:27:10 ID:rrH
下にぐちゃぐちゃ書いたのは補足ね
569名無しさん@おーぷん :2015/01/08(木)21:54:46 ID:rrH
六十五問目!
ABCD=DCBA×4
A〜Dに当てはまる0から9までの自然数を答えよ
570名無しさん@おーぷん :2015/01/08(木)23:07:26 ID:KQi
ABCDは偶数であり、特に4の倍数であることから、D=0, 2 (D>=4の場合はABCDの4桁に収まらないため不可)

D=0の場合
一の位の比較からA=5 (D=0の場合について検討しているので、A<>Dと仮定すればA=0は除かれる)
5BC0=CB5*4
すなわち、5000+100B+10C=(100C+10B+5)*4
整理すると、2B-13C=166 これを満たすB、Cは存在しない

D=2の場合
一の位に着目するとA=8  (A=3も考えられるが、3XXX=2XXX*4となるので不可)
8BC2=2CB8*4
8000+100B+10C+2=(2000+100C+10B+8)*4とおくと
2B-13C=1  B=7,  C=1

解は、8712=2178*4
571名無しさん@おーぷん :2015/01/09(金)17:53:42 ID:cTa
>>570
せいかーい
572名無しさん@おーぷん :2015/01/09(金)18:05:00 ID:cTa
六十六問目
x^5+x+1を因数分解せよ
573名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)01:00:08 ID:1zV
x^3=1の虚数解のひとつをω、f(x)=x^5+x+1とおく
f(ω)=0、f(ω^2)=0よりf(x)はx^2+x+1で割り切れて
f(x)=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)
g(x)=x^3-x^2+1とおく。g(x)が(有理数の範囲で)因数分解できると仮定すると、g(x)は3次式より少なくともひとつ1次の因数をもつ。それをx-aとおくと、g(a)=0よりx=aはg(x)=0の解となる。a=p/q(|p|と|q|は互いに素、qは自然数)とおくと
(p/q)^3-(p/q)^2+1=0
∴p^3-p^2q+q^3=0
∴p^3=q(p^2-q^2)
pとqは互いに素で、またp≠0より
q=1
∴p^2(1-p)=1
p^2,1-p∈Zより
(p^2,1-p)=(1,1)(-1,-1)
ところが、これを満たすpは存在しない。よってg(x)はこれ以上因数分解できない。

∴x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)
574名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)17:49:07 ID:q4z
>>573
せいかーい
いいね!
575名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)17:57:07 ID:q4z
六十七問目
半径rの円があり、円周上の点Pから動点A,Bがそれぞれ速さa,bで同じ向きに
同時に出発する。出発した時刻をt=0として、A,Bが再び合流する時の時刻を
a,b,rを用いて表せ
576名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)18:00:08 ID:q4z
補足
a>bとして答えてね
577名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)18:11:07 ID:1S5
Bから見たAの相対速度 v=a-b
円周を一巡りして戻ってくる時刻は
t=2πr/v=2πr/(a-b)
578名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)18:12:11 ID:q4z
>>577
せいかい!
579名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)18:18:32 ID:q4z
六十八問目
前問に加えて動点Cが同じ向きに速さcで同時に出発するとする。

条件X:A,B,Cが全て重なる時刻がある。
条件Y:ある有理数p、qを用いてb=pa,c=qaと書ける

XはYであるための□。
【選択肢】
1.必要条件であるが十分条件出ない
2.十分条件であるが必要条件でない
3.必要十分条件である
4.十分条件でも必要条件でもない
580名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)21:23:19 ID:q4z
以上全て0より大きい範囲の実数で考えてね
581名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)21:24:40 ID:q4z
あとa〜cは全て異なるとしてね
582名無しさん@おーぷん :2015/01/10(土)21:46:02 ID:1S5
a>b>c>0とする。>>577と同様にして
2πnr/(a-c)=2πmr/(b-c)  (n, mは自然数)
n/m=(a-c)/(b-c)
条件Xが成立するためには上式を満たす整数n, mが存在すればよい
n/mは整数を使った分数の形であるから有理数ということになる

b=pa
c=qa と書くと
(a-c)/(b-c)=(a-qa)/(pa-qa)=(1-q)/(p-q)
(1-q)/(p-q)は有理数である必要があるが、p, qは無理数であってもよい

Y→Xは成り立つが、X→Yは成り立たない

1.必要条件であるが十分条件でない
583名無しさん@おーぷん :2015/01/11(日)11:19:23 ID:dHR
>>582
正解!
584名無しさん@おーぷん :2015/01/11(日)11:28:54 ID:dHR
六十九問目
前2問について、円の中心をOとする。出発したのち反時計回りに速さ
a=2+√2,b=√2,c=√2-1
で動く3点A、B、Cが始めて出会うのを一回目の衝突として、
2015回衝突したのち点A(=B=C)はどこにどこにいるか。
∠AOPをOPを始線として反時計回りにはかった角(0≦∠AOP≦2π)として答えよ
585名無しさん@おーぷん :2015/01/11(日)11:30:16 ID:dHR
2015回衝突したのち点A(=B=C)はどこにどこにいるか。

2015回衝突目の衝突の瞬間、点A(=B=C)はどこにどこにいるか。
586名無しさん@おーぷん :2015/01/11(日)11:37:40 ID:dHR
√2=1.41421356237309504880168872421
使わなくてもできるけど使ってもいいよ
587名無しさん@おーぷん :2015/01/11(日)12:55:30 ID:dHR
なんかミスりまくってるなwwww

前2問について、円の中心をOとする。出発したのち反時計回りに速さ
a=2+√2,b=√2,c=√2-1
で動く3点A、B、Cが始めて出会うのを一回目の衝突として、
2015回目の衝突した瞬間、点A(=B=C)はどこにどこにいるか。
∠AOPでOPを始線として反時計回りにはかった角(0≦∠AOP≦2π)として答えよ

√2=1.41421356237309504880168872421を用いても良い
588名無しさん@おーぷん :2015/01/11(日)14:18:48 ID:Apx
Cから見たA, Bの相対速度
(a-c)/(b-c)=((2+√2)-(√2-1))/(√2-(√2-1))=3/1=3
Aが3周目、Bが1周目のときにA, B, Cが衝突する

2015回目の衝突は、Aが3*2015=6045周目、Bが2015周目のときに起きる
衝突時刻 t=2πr/(a-c)*6045=2πr/(b-c)*2015=4030πr
Aの位置 at=4030(2+√2)πr、 角度 4030(2+√2)π

4030(2+√2)π/(2π)≒6879.6403281818
∠AOP=4030(2+√2)π-2π*6879≒1.280656363573*π
589名無しさん@おーぷん :2015/01/11(日)19:55:50 ID:dHR
>>588
正解!
590名無しさん@おーぷん :2015/01/11(日)20:03:52 ID:dHR
センター試験シーズンだからセンター試験から出題!

七十問目【2014年本試/数1A第3問】
交点Aから6回移動して交点Dに行く場合の数は□通り
※一回の移動とは、下図の矢印1〜6の向きに1マス分進むこと
http://img.open2ch.net/p/math-1416212259-590.png
591名無しさん@おーぷん :2015/01/12(月)04:08:43 ID:fgM
矢印1~6をベクトルa1~a6 で表すと、題意から
n1 a1+n2 a2+ ...... +n6 a6 = Σnk ak = 4 a4 _____(A)
ただし、0 <= nk <= 6 
Σnk = n1+n2+n3+n4+n5+n6 = 6 ______(B)

a3 = a2-a1
a4 = -a1
a5 = -a2
a6 = a1-a2 と置いて上の(A)式に代入し次式を得る
n1-n3-n4+n6 = -4 _____(C)
n2+n3-n5-n6 = 0 _____(D)

(B)+(C)+(D)から、 2 n1+2 n2+n3+n6 = 2
n1, n2, n3, n6 の組み合わせは
1 2 3 6
------
0 0 0 2
0 0 1 1
0 0 2 0
0 1 0 0
1 0 0 0

このとき(C), (D)から n4, n5 を求める
n4 = n1-n3+n6+4
n5 = n2+n3-n6
ただし、(n1, n2, n3, n6) = (0, 0, 0, 2)は (n4, n5) = (6, -2) となるので不適であると判る

1 2 3 4 5 6 ;
------------
0 0 1 4 0 1 ; 6
0 0 2 2 2 0 ; 6
0 1 0 4 1 0 ; 6
1 0 0 5 0 0 ; 6

AからDへ行く道筋は
6!/(1!4!1!) + 6!/(2!2!2!) + 6!/(1!4!1!) + 6!/(1!5!) = 156 通り
592名無しさん@おーぷん :2015/01/12(月)17:54:28 ID:kYS
>>591
正解!
593名無しさん@おーぷん :2015/01/12(月)17:59:09 ID:kYS
七十一問目【2014年追試/数2B第3問】
以下の漸化式を解け
a[n+1]=1/4(1+1/n)a[n]+3n+3
a[1]=4
594名無しさん@おーぷん :2015/01/12(月)18:03:05 ID:kYS
語弊があるかな?
こう言うことです↓
a[n+1]=(1/4)*(1+1/n)a[n]+3n+3
595名無しさん@おーぷん :2015/01/12(月)22:46:11 ID:fgM
両辺に n を掛けてみると
n a[n+1] = 1/4 (n+1) a[n]+3n(n+1) という形になるので
改めて両辺を n(n+1) で割ってみると
a[n+1]/(n+1) = 1/4 (a[n]/n)+3

a[n]/n = b[n] と置き換えると
b[n+1] = 1/4 b[n]+3,    b[1] = a[1]/1 = 4

b[n+1]-4 = 1/4 (b[n]-4) と変形できるので
b[n]-4 = (1/4)^(n-1) (b[1]-4)
ところが、b[1]=4であったから右辺はゼロとなり結局、b[n] = 4
a[n]/n = b[n] から a[n] = 4n
596名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)00:01:31 ID:U87
なるほどなぁ、上手いわ
元の問題調べてみたら一般項予想して帰納法に誘導させる形になってたから
もっとスマートな解き方ないかと思って考えてたが、こうすればいいのか
597名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)07:18:43 ID:dt5
むしろこのほうが自然な気がするがな
598名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)07:44:59 ID:iEl
>>595
正解です!
599名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)08:05:29 ID:iEl
七十二問目【2014年追試/数1A第1問】
実数a,bについて、
条件p:la+bl=lal+b
条件q:ab^2≧0

pはqであるための□。

1.必要条件であるが十分条件でない
2.十分条件であるが必要条件でない
3.必要十分条件である
4.十分条件でも必要条件でもない

※lxlはxの絶対値
600名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)18:09:26 ID:MZy
qはa>=0に同値
pの両辺を二乗してみると、a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2|a|b
つまり、a>=0よりp⇒q

一方、q⇒pとは限らない
反例としてa=1,b=-10なら9と-9になる
601名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)18:11:21 ID:MZy
間違えた
b=0でも上の式は成立するので答えは4
602名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)20:26:44 ID:iEl
>>601
不正解です
603名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)20:35:18 ID:iEl
>>600の一行目に間違いがあります。
どこがいけないかは答えに直結するので言いません
604名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)23:38:27 ID:MZy
qはb=0とも同値か

結局600が答えか
605名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)23:40:02 ID:iEl
>>604
まあ一応正解って事にしときます
606名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)23:46:02 ID:iEl
>>600の一行目についてxの否定命題をnot(x)で表す

p:ab^2=>0

not(p):ab^2<0
⇔b≠0かつa<0

not(not(p)):b=0またはa>0
⇔p

分かりにくい時は否定命題を使うといいです
607名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)23:47:01 ID:iEl
正解は2番ね
608名無しさん@おーぷん :2015/01/13(火)23:47:24 ID:iEl
次の問題は明日の夜です
609名無しさん@おーぷん :2015/01/14(水)17:16:49 ID:pae
七十二問目【2013年追試/数2B第3問】
以下の漸化式を解け。
a[n]+a[n+1]=1/{n(n+2)}
a[1]=1/2
610名無しさん@おーぷん :2015/01/14(水)17:21:38 ID:pae
出典間違えた【2011年追試/数2B第3問】です
611名無しさん@おーぷん :2015/01/14(水)19:00:43 ID:c6l
a[n]+a[n+1]=1/{n(n+2)}
⇔a[n+1]+1/2(1/(n+2)-1/(n+1))=-(a[n]+1/2(1/(n+1)-1/n))

∴a[n]+1/2(1/(n+1)-1/n)
=(-1)^(n-1)(a[1]+1/2(1/(1+1)-1/1))
=(-1)^(n-1)(1/4)

∴a[n]=(-1)^(n-1)(1/4)+1/{2n(n+1)}
612名無しさん@おーぷん :2015/01/14(水)23:32:24 ID:pae
>>611
正解ですー
613名無しさん@おーぷん :2015/01/14(水)23:33:20 ID:pae
次の問題は明日の夜で
614名無しさん@おーぷん :2015/01/15(木)20:15:19 ID:n3W
七十二問目【2011年追試/数2B第4問】
OP=4,OQ=3√2、ベクトルOP=p、ベクトルOQ=qとした時に、p•q(pとqの内積)=12
となる△OPQの垂心の位置ベクトルをp,qを用いて表せ
615名無しさん@おーぷん :2015/01/15(木)20:16:02 ID:n3W
七十三問目だった
616名無しさん@おーぷん :2015/01/15(木)23:16:22 ID:n3W
一応言っとくけど
3本の垂線が一点で交わる事は定理としていいです
617名無しさん@おーぷん :2015/01/15(木)23:18:31 ID:T2H
p.q=4*3√2*sin∠O=12よりsin∠O=1/√2, ∠O=π/4
ゆえに△OPRは直角二等辺三角形となり、OR=2√2q, RP=p-2√2q

垂心をxで表すと
PQ⊥xより (q-p).x=0
OR+αRP=xより 2√2q+α(p-2√2q)=x    (0<α<1)

∴ x=αp+2√2(1-α)q  ただし、α=3√2/(1+3√2)



618名無しさん@おーぷん :2015/01/15(木)23:29:11 ID:n3W
>>617
不正解ですー
あと内積はcosです
619名無しさん@おーぷん :2015/01/15(木)23:38:32 ID:n3W
>>617はxベクトルをvecxとして、
vecOR+αvecRP=vecx
にOR,RPの値を代入してるところがミスだと思います
620名無しさん@おーぷん :2015/01/16(金)00:09:41 ID:ALj
(修正版)
p.q=4*3√2*cos∠O=12よりsin∠O=1/√2, ∠O=π/4
ゆえに△OPRは直角二等辺三角形となり、OR=2/3q, RP=p-2/3q

垂心をxで表すと
PQ⊥xより (q-p).x=0
OR+αRP=xより 2/3q+α(p-2/3q)=x    (0<α<1)
α=1/2
x=1/2p+1/3q
621名無しさん@おーぷん :2015/01/16(金)23:03:21 ID:pj0
>>620
正解です!
622名無しさん@おーぷん :2015/01/16(金)23:10:45 ID:pj0
七十四問目【2012年追試/数2B第4問】
OP=1,OQ=2,∠POQ=90°である△OPQにおいて、OPを2:1に内分する点をL、
OQ上の点をM、QP上の点をNとおく。
△OPQ∽△NMLの時、
NをvecOP=p,vecOQ=qを用いて表せ


ベクトルXをvecXとおく。
わかる範囲でベクトル記号は省略して良い
623名無しさん@おーぷん :2015/01/16(金)23:13:03 ID:pj0
∽は相似の記号
>>622で点を対応させて書かなかったです。申し訳ない
624名無しさん@おーぷん :2015/01/16(金)23:15:24 ID:pj0
△QOP∽△LMNに訂正しといて下さい
625名無しさん@おーぷん :2015/01/17(土)12:12:31 ID:ty5
∠O=π/2から vecOP.vecOQ=p.q=0

OM:MQ=α:(1-α)、 PN:NQ=β:(1-β) とおくと

vecLM=vecOM-vecOL=αq-2/3p

|LM|^2=(αq-2/3p)^2
=α^2q^2+4/9p^2-4/3α(p.q)
=4α^2+4/9

vecOP+vecPN=vecOL+vecLNより
vecLN=(vecOP+vecPN)-vecOL
=p-β(q-p)-2/3p
=(1/3-β)p+βq

|LN|^2=(1/3-β)^2+4β^2

vecOM+vecMN=vecOQ+vecQNより
vecMN=(vecOQ+vecQN)-vecOM
=(1-β)p+(β-α)q

|MN|^2=(1-β)^2+4(β-α)^2

△QOP∽△LMNなので∠M=π/2、 |MN|/|LM|=1/2

vecLM.vecMN=(αq-2/3p).((1-β)p+(β-α)q)=0から
4α(β-α)-2/3(1-β)=0
|MN|^2/|LM|^2=(1/2)^2から
(1-β)^2+4(β-α)^2=(4α^2+4/9)/4

これを解いて、α=5/12, β=7/12
vecN=vecL+vecLN
=2/3p+((1/3-β)p+βq)
=(1-β)p+βq
=5/12p+7/12q
626名無しさん@おーぷん :2015/01/17(土)21:39:29 ID:ixg
>>635
正解です!
どういうやり方でも計算量の多い問題だと思います
627名無しさん@おーぷん :2015/01/17(土)21:39:53 ID:ixg
>>625のミス
628名無しさん@おーぷん :2015/01/17(土)21:46:43 ID:ixg
七十四問目【2012年追試/数2B第1問】
不等式log(3,x^2-2x)<1
を満たすxについて、
u=log(2,2x^2+2x+1)
が整数になるxとその時のuの値を求めよ


log(a,b)は底をa,真数bとする対数である
629名無しさん@おーぷん :2015/01/18(日)01:00:36 ID:XDy
log(2, x^2-2x) < log(2, 3)
x^2-2x < 3
y = x^2-2x = (x-1)^2-1 < 3 のグラフを描いてみると
-1<x<0 または 2<x<3 となることが分かる

2^u = 2x^2+2x+1 = 2(x+1/2)^2+1/2
これを満たす整数uは
x = -1/2のとき u = -1
x= (√(31)-1)/2のとき u = 4




630名無しさん@おーぷん :2015/01/18(日)22:40:15 ID:jOJ
>>629
正解です
631名無しさん@おーぷん :2015/01/18(日)22:52:23 ID:jOJ
センターシリーズはこれで最後!

七十六問目【2015年本試(新旧)/数2B第3問】
自然数nに対し、2^nの一の位の数をa(n)とおく。
また数列{b(n)}は、

b(1)=1,b(n+1)=a(n)b(n)/4

を満たすとする。
T(m)=Π[k=1→k=4m]b(k)

とする時、T(m)を求めよ。


Π[k=1→k=n]b(k)=b(1)b(2)b(3)………b(n-1)b(n)
632名無しさん@おーぷん :2015/01/18(日)23:42:35 ID:UYd
あー、これが話題になってる問題か
633名無しさん@おーぷん :2015/01/19(月)00:22:40 ID:jDV
>>632
そうですねー
第一問と並んでこれが難しかったように思います
634名無しさん@おーぷん :2015/01/19(月)21:02:12 ID:ftp
実際に計算してみると
a[n] = 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6,......
b[n] = 1, 1/2, 1/2, 1, 6/4, 3/4, 3/4, 6/4, 18/8, 9/8, 9/8, 18/8,......

Π= (1/4) * (1/4*(3/2)^4) * (1/4*(3/2)^8) * (1/4*(3/2)^12) *......* (1/4*(3/2)^(4*m-4))
 = (1/4)^m * (3/2)^4 * (3/2)^8 * (3/2)^12 *......* (3/2)^(4*m-4)
 = (1/4)^m * (3/2)^(2*m^2-2*m)
635名無しさん@おーぷん :2015/01/19(月)21:32:39 ID:jDV
>>634
正解!!
636名無しさん@おーぷん :2015/01/19(月)21:34:43 ID:jDV
本番では4の倍数で場合わけ
637名無しさん@おーぷん :2015/01/19(月)21:52:37 ID:jDV
七十七問目

'√xをxの三乗根とする('√x=x^(1/3))

('√25^2 + '√10^2 + '√4^2 - '√25'√10 - '√10'√4 - '√4'√25) / ('√5 - '√2)

を簡単にせよ
638名無しさん@おーぷん :2015/01/19(月)21:53:31 ID:eVU
3秒くらい考えたけど簡単にはならなかった
639名無しさん@おーぷん :2015/01/19(月)21:54:19 ID:jDV
>>638
もっと考えてよwww
640名無しさん@おーぷん :2015/01/19(月)23:18:26 ID:ftp
5^(1/3)=x、 2^(1/3)=y と置くと、与式は
(x^4+(x y)^2+y^4-x^2 (x y)-(x y) y^2-y^2 x^2)/(x-y)
=(x^4+y^4-x^3 y-x y^3)/(x-y)
=(x^3-y^3)(x-y)/(x-y)
=x^3-y^3
=5-2
=3
641名無しさん@おーぷん :2015/01/20(火)12:56:24 ID:npD
平面上にたくさんの直線が引いてあって、それらは互いに平行で等間隔に並んでいるとする
平面上に針を投げたとき、針と直線が交わる確率は 2L/(πD) である
(ただし、平行線の間隔 2D、針の長さ 2L、 L<=D とする)

同じようにして、平面上に同心円を描いて針を投げたとき、針と円周が交わる確率はいくらくらいになるか?
642名無しさん@おーぷん :2015/01/20(火)19:20:50 ID:Mh8
>>640
正解!
643名無しさん@おーぷん :2015/01/20(火)23:45:04 ID:LU8
同心円の半径の間隔が2D、針の長さが2Lでいいの?
ベルトランの逆理と同じ問題が起きそうだけど大丈夫なのかな
644名無しさん@おーぷん :2015/01/21(水)01:37:41 ID:LpF
無限に広い平面(同心円)上において、針の座標と針の角度は一様に分布しているものとする

すみません、条件を追加します
645名無しさん@おーぷん :2015/01/21(水)02:14:00 ID:hmC
>>644
有名な問題はすぐに解かれるぞ
ここの住人は知能指数が高い
646名無しさん@おーぷん :2015/01/21(水)08:20:23 ID:eU2
んー……
647名無しさん@おーぷん :2015/01/21(水)09:13:33 ID:wtW
なんとかの梁は有名だから
覚えているヤツは多いだろ
648名無しさん@おーぷん :2015/01/21(水)18:38:17 ID:eU2
>>647
びほんの針の結果を使って求める応用問題なんじゃない?
649名無しさん@おーぷん :2015/01/21(水)23:50:44 ID:eU2
さっぱり分からん
650名無しさん@おーぷん :2015/01/21(水)23:59:52 ID:LpF
針は全平面に満遍なく散らばっているので
同心円の中心付近は無視できる
半径→∞のとき、円弧は直線になる
651名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)00:32:50 ID:RMX
針の座標が無限の平面上で一様分布することは不可能では?(全確率が∞になる)
同心円の場合は平行線の場合と違って、平面が合同な形に分割されてないから
一様分布と仮定するとマズい気がする
652名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)18:29:29 ID:Who
確かにそうだな

円の真ん中付近で針を落とすのと外で針を落とすのでは結果が違いそう
それとも結果的に同じになるのかな……

そしたら答えは2L/(πD)なのかな
653名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)21:22:15 ID:mII
外側に針を投げたときの確率は2L/(πD)に近付くと思われて(私が想定していた解答もそれでしたが)
ただし、真ん中に投げる場合を詳しく計算すると少し違うようです

83ページの式(1)
Khamis, H.J.: The Bayesian Buffon needle problem on concentric circles
http://www.pme-math.org/journal/issues/PMEJ.Vol.9.No.2.pdf#page=8
654名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)21:22:49 ID:Who
へー……
655名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)21:23:57 ID:Who
何かいてあるか分かんないけどこんなに難しいのか??
656名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)21:26:13 ID:mII
私もなに書いてあるか分からないので、内容に関する質問は受け付けできません
657名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)21:27:42 ID:Who
>>656
とりあえずお疲れ

明日までこのまま進展が無かったら七十八問目からまたスタートします。。。
658名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)22:22:35 ID:RMX
半径が十分大きい円で大雑把に計算すると2L/(πD)になったけど

同心円の間隔:2D 針の長さ:2L L << D とする
同心円は角度について対称なので、針の角度は90度(垂直)で固定しておく
Mが十分大きいとして
大きい円(半径M)と、その外側の円(半径M+2D)の間の領域の面積Sは
S = (M+2D)^2・π - M^2・π = 4(M+D)Dπ
針の中心がこの領域にあり、かつ、針が2つの円のどちらかと交わるとき
針の中心が存在しうる領域の面積は、大雑把に考えると2つの円を上下にLずつずらした
部分の面積になるので、それをTとすると
T = 2・{2(M+2D)L+2ML} = 8(M+D)L
求める確率は T/S = 2L/(πD)

このTの値は不正確で、円が小さいほどズレが大きくなる
659名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)23:21:28 ID:mII
絵にすると、こういうことですね。4本分の帯の面積



660名無しさん@おーぷん :2015/01/22(木)23:56:18 ID:RMX
>>659
絵を描いてくれてサンクス
円の左右の端のところで誤差が出ます
661名無しさん@おーぷん :2015/01/23(金)19:58:21 ID:liX
>>658-660
お疲れ様です。

出題者が来るか分かんないけど新しい問題出します。
662名無しさん@おーぷん :2015/01/23(金)20:13:38 ID:liX
七十九問目

この問題での「空間充填立体」を以下のように定義する。
・回転、平行移動によって空間を隙間なく埋めることのできる立体である。
・全ての隣り合う2辺のなす角が180°を超えない図形である。(凸図形である。)
・曲面を含まない。
例えば、正六角柱、平行六面体、正三角柱などは全て空間充填立体である。


空間充填立体の例を3つあげよ。ただし、上の例であげた図形と同じ面の数を持つ図形を
答えてはならない。また、答え3つの中に同じ面の数を持つ図形を答えてはならない。
663名無しさん@おーぷん :2015/01/23(金)20:17:29 ID:liX
一応正六角柱の例です。
こんな感じで何層にも重ねて行くと空間を充填出来ます。

664名無しさん@おーぷん :2015/01/23(金)20:36:42 ID:liX
あ、やっぱり答える例の数2つでもいいです。。。
3つ見つけられたら3つ答えてください。
665名無しさん@おーぷん :2015/01/23(金)21:38:17 ID:liX
菱形十二面体とか切頂八面体とかそう言うのを知識で答えるよりは
単純で誰にとっても明らかな立体を答えて欲しいです……
666名無しさん@おーぷん :2015/01/23(金)22:33:23 ID:ouK
こんなのしか思いつかん



667名無しさん@おーぷん :2015/01/23(金)23:33:35 ID:liX
>>666
両方正解ですが、面の数が同じなので題意から片方外れます………
あと一個考えてください
668名無しさん@おーぷん :2015/01/23(金)23:49:07 ID:liX
>>666の左はこうやって並べてもokです

669名無しさん@おーぷん :2015/01/24(土)02:34:42 ID:kux
赤いやつは面が10個

670名無しさん@おーぷん :2015/01/24(土)08:01:53 ID:EvY
>>669
凸図形で無いので題意から外れます……
もう一個考えてください
671名無しさん@おーぷん :2015/01/24(土)11:23:30 ID:kyx



672名無しさん@おーぷん :2015/01/24(土)18:07:49 ID:EvY
>>671
こんな感じですかね…
正解です!

673名無しさん@おーぷん :2015/01/24(土)18:12:02 ID:EvY
四面体だとこんな感じ

674名無しさん@おーぷん :2015/01/24(土)18:29:32 ID:EvY
八十問目
□□□□□□□□□÷13が割り切れるように□に1〜9の数を一回ずつ入れてください。
675名無しさん@おーぷん :2015/01/24(土)21:15:09 ID:NZ4
213598476など
コンピュータ無しでもたくさん見つかるな
676Awn◆Awn//////E :2015/01/25(日)00:11:46 ID:g90
>>674
コンピュータ有りでたくさん見つけてみました。
【方法】
mod( 123456789 -1, 13) == 0であることを利用して、
添字i = 123456789 -1 から 13ずつ加算し、iを10進法で表した時の各桁の数字に重複がないものを正解用の配列に挿入
添字i = 999999999 を超えたら探索終了
正解用の配列を表示

※力づく。。
----
    結果    
探索開始: Sat Jan 24 2015 23:44:39 GMT+0900 (JST)
探索終了: Sat Jan 24 2015 23:52:41 GMT+0900 (JST)
探索にかかった時間: 482.581秒
個数
27776

http://pastebin.com/BLf7uy5c

探索用ソース(javascript)
http://pastebin.com/sMCH6B8m
677名無しさん@おーぷん :2015/01/25(日)06:41:55 ID:Tku
順列生成アルゴリズムを使えば二百倍くらい速くなると思うよ
678Awn◆Awn//////E :2015/01/25(日)08:05:55 ID:z7S
>>677
探したんだけどメンドクサイから及第点を取りました…。
679名無しさん@おーぷん :2015/01/25(日)13:38:30 ID:6L2
13の倍数
13, 26, 39, 52, 65, 78, 91,
104, 117, 130, 143, 156, 169, 182, 195,
208, 221, 234, 247, 260, 273, 286, 299, etc.

このうちから適当な数字を択び出す
今は1~9の数字を一つづつ含むように選ぶ
65, 78, 91, 234

657891234, 786591234, 916578234, 917865234, などは全て13の倍数になる
680名無しさん@おーぷん :2015/01/25(日)16:46:24 ID:gvv
>>675
>>676
>>679
正解です!!

意外といっぱいあるんですね…
面白いです

1000≡-1(mod13)を使っても出来ます
681名無しさん@おーぷん :2015/01/25(日)17:00:28 ID:gvv
八十一問目【東北大前期理系】

1からnまでの数字を一つずつ書いたn枚のカードが箱に入っている。
この箱から無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し,
箱に戻すという操作を繰り返す。
ただし、k回目の操作で直前のカードと同じ数字か直前のカードよりも
小さい数字のカードを取り出した場合に、kを得点として終了する。
(1)2≦k≦n+1を満たす自然数kについて、得点がkとなる確率を求めよ。
(2)(1)の範囲のkについて、得点の期待値をnで表した式をf(n)とする時、
f(n)およびlim[n→∞]f(n)を求めよ。
682名無しさん@おーぷん :2015/01/25(日)22:59:47 ID:6L2
終了する組み合わせは以下の通り
1;   1
2;   1, 2
3;   1, 2, 3
......
n-2; 1, 2, 3,...... n-3, n-2
n-1; 1, 2, 3,...... n-3, n-2, n-1
n;   1, 2, 3,...... n-3, n-2, n-1, n
1+2+3+......+(n-1)+n = n(n+1)/2 とおり
組み合わせ全体では n^2 通りあるので、終了する確率は [n(n+1)/2]/n^2 = (n+1)/2n = 1/2+1/(2n)

1回目で終了する確率はゼロであることに注意すると、k回目で終了する確率は
p(k) = (1 - 0) * [1-(1/2+1/(2n))]^(k-2) * [1/2+1/(2n)] = [1/2-1/(2n)]^(k-2) * [1/2+1/(2n)]

得点の期待値f(n) = Σ[k=2...n+1] p(k)*k = [1/2+1/(2n)] * Σk * [1/2-1/(2n)]^(k-2)

f(n) - [1/2-1/(2n)] * f(n)
 = [1/2+1/(2n)] * [ { 2[1/2-1/(2n)]^0 + 3[...]^1 + 4[...]^2 + ...   + n[...]^(n-2) + (n+1)[...]^(n-1) } -
             { 2[...]^1 + 3[...]^2 + ... + (n-1)[...]^(n-2) + n[...]^(n-1)     + (n+1)[...]^n } ]
 = [1/2+1/(2n)] * { 2 - (n+1)[...]^n + [...] * (1 + [...] + [...]^2 + ... + [...]^(n-2) + [...]^(n-2)) }
 = [1/2+1/(2n)] * { 2 - (n+1)[...]^n + [...] * (1 - [...]^(n-1)) / (1 - [...]) }   (等比数列の和の公式から)
整理すると
f(n) = 2 - (n+1)(1/2-1/(2n))^n + (1/2-1/(2n))/(1/2+1/(2n)) [1-(1/2-1/(2n))^(n-1)]

n→∞ のとき (1/2-1/(2n))^n = (1/2)^n * (1-1/n)^n → 0 * 1/e などに注意すると
lim[n→∞]f[n] = 3
683名無しさん@おーぷん :2015/01/26(月)00:28:01 ID:mPr
>>682
違います!
得点がkとなる時の確率から違います
684名無しさん@おーぷん :2015/01/26(月)18:17:39 ID:mPr
立式は単純に出来ますが結構むずいと思います。
東北大の10年位前の問題です
685名無しさん@おーぷん :2015/01/27(火)18:07:50 ID:Df2
明日まで待ってみようかな……
シュミレーションすると結果予想出来るかも
まあ解答に役立つとは思わないけど
686名無しさん@おーぷん :2015/01/27(火)21:05:48 ID:8vp
組合せ nCk を C(n,k)と書く
k番目の数字をmとすると、k回で終了するためには、1~(k-1)番目までの数字が順に増加し
かつ、(k-1)番目の数字≧m となればよい。よって
1~(k-1)までの数字が順に増加する場合から、(k-1)番目の数字≦(m-1)となる場合を引けばよい
求める場合の数は、Σ(1≦m≦n)(C(n,k-1)-C(m-1,k-1)) (ただし、m<kのとき C(m-1,k-1)=0)
= n・C(n,k-1)-{C(n-1,k-1)+C(n-2,k-1)+C(n-3,k-1)+…+C(k-1,k-1)}
ここで、
C(n,k) = C(n-1,k-1)+C(n-1,k) = C(n-1,k-1)+C(n-2,k-1)+C(n-2,k) = …
= C(n-1,k-1)+C(n-2,k-1)+…+C(k,k-1)+C(k,k)
= C(n-1,k-1)+C(n-2,k-1)+…+C(k,k-1)+C(k-1,k-1) より、
= n・C(n,k-1)-C(n,k) = n・n!/(n-k+1)!(k-1)! - n!/(n-k)!k!
= (k-1)(n+1)!/(n-k+1)!k! = (k-1)C(n+1,k)
求める確率は、(k-1)C(n+1,k)/n^k

f(n) = Σ(2≦k≦n+1)k(k-1)C(n+1,k)/n^k = Σn(n+1)C(n-1,k-2)/n^k
= (1+1/n)Σ(0≦k≦n-1)C(n-1,k)/n^k
= (1+1/n)^n
lim f(n) = e
687名無しさん@おーぷん :2015/01/28(水)00:05:23 ID:uBR
>>686
おおおお!
正解です!
688名無しさん@おーぷん :2015/01/28(水)00:05:54 ID:uBR
次の問題は明日の夜です
689名無しさん@おーぷん :2015/01/28(水)18:48:13 ID:uBR
八十一問目
63÷8=7.875
63÷280=0.225
のように、
63を自然数nで割った時、小数点第3位でちょうど計算が終わったとする。

このようなnは何通り考えられるか。
690名無しさん@おーぷん :2015/01/28(水)23:49:05 ID:oQN
63/n=m/1000(mは10の倍数でない)
63000=mn
2^3 * 3^2 * 5^3 * 7=mn

mは2か5を約数としないから
2^3| n or 5^3| n

それぞれ3*4*2=24通存在する
重複分である(つまり1000の倍数である)6通りを引いて

24+24-6=42
691名無しさん@おーぷん :2015/01/29(木)18:46:36 ID:TTa
>>690

正解です!
692名無しさん@おーぷん :2015/01/29(木)19:03:23 ID:TTa
八十二問目

六角錐の底面積をS、頂点から底面までの距離をhとする時、
錐体の体積Vは
V=1/3Shで与えられることを示せ。

六角錐は直錐とは限らない、一般の六角錐である。
底面は凸図形とする。
693名無しさん@おーぷん :2015/01/31(土)09:52:48 ID:uRX
愚問だったかな…明日まで待ちます
694名無しさん@おーぷん :2015/02/01(日)08:48:58 ID:DdL
底面の六角形に対角線を引いて6つの三角形に分ける
6つの三角形の面積T1+T2+......+T6=S
それぞれの三角形を底面とする三角錐の体積V1=T1*h/3, V2=T2*h/3, ......
これらを六つ分足し合わせると六角錐の体積になる。すなわち
V1+V2+......+V6=(T1*h)/3+(T2*h)/3+......+(T6*h)/3=(T1+T2+......+T6)/3*h=Sh/3
695名無しさん@おーぷん :2015/02/01(日)18:19:53 ID:koO
>>694
正解です!
底面が多角形でも多角凹図形でも閉曲線(微小三角錐)でも同様の議論によって
V=1/3Shとなります。

底面積ΔS、高さhの三角錐の体積は底面に並行な面で切った時の面積が
相似を使って求められるので、
高さの変数で積分して1/3ΔShを得ます。
696名無しさん@おーぷん :2015/02/01(日)18:39:01 ID:koO
八十三問目

Aの円の一部を赤い線に沿って切り離し、Bのように組み替える。
切り目を接着してCのような図形を作る。

Cをある二つの図形に分割して、組み直すとAのような円に戻るという。

このような分割の仕方の一例を図示せよ。



697名無しさん@おーぷん :2015/02/02(月)12:22:35 ID:ZiY
上の部分を反時計回りに90°回転

698名無しさん@おーぷん :2015/02/02(月)18:44:34 ID:dZ2
>>697
正解です
699名無しさん@おーぷん :2015/02/02(月)18:51:18 ID:dZ2
八十四問目
底面が正方形の直方体の2つの容器がある。2つの容器の容積はどちらも6リットルである。
いま、両方に水が満杯に入っている。片方の容器から、他の容器へ水を移したり
水を捨てたりしてもよいとする。ただし、新たな水の補給はできない。



2つの容器を使って4リットルの水を作れ。
700名無しさん@おーぷん :2015/02/02(月)18:55:21 ID:dZ2


701名無しさん@おーぷん :2015/02/02(月)19:09:24 ID:4q2
容器を傾けて余分な水を捨てると
右側は3L、左側は1Lになる

702名無しさん@おーぷん :2015/02/02(月)21:17:09 ID:4q2
a[k] = (k-1)! + k! であるとき

Σ[k=1...∞] 1/a[k]

はいくらか?
703名無しさん@おーぷん :2015/02/02(月)23:41:22 ID:dZ2
>>701
正解です!
次は>>702です
704名無しさん@おーぷん :2015/02/03(火)17:30:51 ID:u0D
(与式)=Σ[k=1...∞] (1/k!-1/(k+1)!)=1
705名無しさん@おーぷん :2015/02/03(火)17:51:33 ID:aeG
a[k] = (k-1)! + k! =k/(k+1)!=(1+k-k)/(1+k)!

で変形したんだな
706名無しさん@おーぷん :2015/02/03(火)18:56:22 ID:Jkn
>704 >705 正解です
707名無しさん@おーぷん :2015/02/03(火)19:03:09 ID:Jkn
>>705
...=(1+k-1)/(1+k)! ですね
708名無しさん@おーぷん :2015/02/03(火)19:10:33 ID:aeG
>>707
ミスったww
709名無しさん@おーぷん :2015/02/03(火)19:18:54 ID:Jkn
よく見ると他にもミスがありますね。正しくは
1/a[k] = 1/((k-1)! + k!) =k/(k+1)!=(1+k-1)/(1+k)!
710名無しさん@おーぷん :2015/02/03(火)19:20:58 ID:aeG
>>709
ほんとだ
急ぎすぎたわ
711名無しさん@おーぷん :2015/02/03(火)19:28:02 ID:Jkn
>>710 どういたしまして

下図において
空白のマスに数字を補って
縦・横・斜めの積がすべて等しくなるようにせよ

712名無しさん@おーぷん :2015/02/04(水)18:15:32 ID:WVC
2^nのnに当たる数字を下図に示した



※コラボ元:>>711
713名無しさん@おーぷん :2015/02/04(水)19:20:17 ID:uYD
>>712 正解
714名無しさん@おーぷん :2015/02/04(水)20:44:07 ID:WVC
俺の次の問題は明日にします
715Awn◆Awn//////E :2015/02/04(水)22:13:05 ID:ufB
2の指数の和が15になればいいのね
なるほど
716名無しさん@おーぷん :2015/02/05(木)19:46:12 ID:Bnp
八十七問目
A地点を出発して、川を渡ってB地点に行くとき、最短距離になるように幅の無視できる橋を1つ掛ける。
その橋の場所を図示せよ。ただし、橋は斜めにはかけないものとする。

717名無しさん@おーぷん :2015/02/05(木)21:35:25 ID:Em7


718名無しさん@おーぷん :2015/02/05(木)23:41:33 ID:Bnp
>>717
不正解…というか不正確です。
その作図法だと正解なるとは限りません
719名無しさん@おーぷん :2015/02/05(木)23:42:31 ID:Bnp
つまり最短でない道順が出来てしまうことがあります
720名無しさん@おーぷん :2015/02/06(金)06:12:17 ID:lsp
理屈は分からないけど、直感的にはこうだと思う。

1. 線分 AB と川端との交点を a, b とする
2. 線分 ab の中点を c とする
3. 「点 c を通り川端と直交するような直線」と川端との交点を d, e とする
4. A→d→e→B が最短経路

※コラボ元:>>716
721Awn◆Awn//////E :2015/02/06(金)07:53:13 ID:EvD
※黄色見づらくてすまん
1:Aから川に向かって垂線を下ろし、図のように交点をa,bとする
2:Bから川に向かって垂線を下ろし、図のように交点をc,dとする
3:線分adの中点と線分bcの中点を、それぞれM,Nとする
4:A→M→N→Bが最短経路


(直感です。)

※コラボ元:>>716
722名無しさん@おーぷん :2015/02/06(金)17:25:17 ID:ztr
>>721
違います!

>>720
ええと……考え中
723名無しさん@おーぷん :2015/02/06(金)17:32:31 ID:ztr
>>720
あ、これも違います。

理屈も作図も意外と簡単ですが……少し味方を変える事が必要(?)
724名無しさん@おーぷん :2015/02/06(金)17:35:11 ID:ztr
補足ですが、
>>716は任意のA、Bについて成り立つ作図を求めて欲しいです
725Awn◆Awn//////E :2015/02/06(金)17:47:30 ID:gPG
うう…閃け我が脳みそよ
726名無しさん@おーぷん :2015/02/06(金)17:52:13 ID:ztr
頑張ってください!
727名無しさん@おーぷん :2015/02/06(金)17:55:07 ID:ztr
とりあえず明日まで待ちます。
728名無しさん@おーぷん :2015/02/06(金)18:15:53 ID:LRP
作図のルールは、いわゆる「定規とコンパスで有限回」のやつでいいの?
729名無しさん@おーぷん :2015/02/06(金)19:42:39 ID:ztr
>>728

まあそうかな。
でも常識でわかる程度だったら補助線とか無しで図示するだけでいいです
>>720>>721は書こうと思えば普通に書けるとおもうのでこのように
答えてもらって結構です。>>717は微妙です。
730名無しさん@おーぷん :2015/02/07(土)00:38:41 ID:51L




川幅をLとして、A・Bから川へ垂線を引き、長さLとなる点をとって平行四辺形をつくる
言葉で上手く説明できないけど、赤い部分が最短距離
要するに川の部分を切ってつなげたときに直線になればいいんじゃないかな
731名無しさん@おーぷん :2015/02/07(土)17:28:01 ID:Tpn
>>730
正解です!!

数学的解答はこんな感じ。
ベクトルと三角不等式の問題に帰着できます。


下図のようにa,b,cを定める。
ただしa,b,cはベクトル量でその大きさは|a|のように表す。
vecAB=a+b+c(=一定)
でbも一定(bは大きさ川幅で川に垂直下向きのベクトル)なので
定ベクトルkを用いて、
a+c=k
とかける。

ところで、求める距離Lは
L=
|a|+|b|+|c|
=|a|+|c|+|b|
≧|a+c|+|b|
=|k|+|b|(定数)
であり、不等式の等号成立条件は
aとcが平行で向きが同じ時である。

以上より、
Lの最小値は|k|+|b|で
aとbが平行になるように作図すれば良い。
つまり>>730のようになる。
732名無しさん@おーぷん :2015/02/07(土)17:29:20 ID:Tpn
下から二行目aとcが平行の間違え
733名無しさん@おーぷん :2015/02/07(土)18:14:15 ID:Tpn
八十八問目
7の倍数のうち、各桁1か0で出来ているものを一つ求めよ。
734名無しさん@おーぷん :2015/02/07(土)20:29:12 ID:Tpn
>>731
下図とか言っときながら図をつけるの忘れたww
こうです↓

735名無しさん@おーぷん :2015/02/08(日)14:08:00 ID:OYw
1001,10101,11011など
736名無しさん@おーぷん :2015/02/08(日)14:28:36 ID:Dvj
初めに、1001=7*11*13 をどうにかして見つける

1001+10010=11011
1001+100100=101101
1001+10010+100100=111111

10010000+1001=10011001
11011000000+101101=11011101101
111111000000+111111=111111111111
111111111111000000000000+111111111111=111111111111111111111111
など
737名無しさん@おーぷん :2015/02/08(日)16:01:53 ID:OYw
>>736
mod 7 で、
10^(n-1)≡a[n]とすると、{a[n]}は
1,3,2,6,4,5,1,... (132645の繰り返し)

これを用いると、
1+6≡0
∴10^0 + 10^3 ≡0
∴1001≡0
のようにして漏れなく生成できますよ
738名無しさん@おーぷん :2015/02/08(日)16:52:10 ID:Dvj
合同式って便利ね
俺は怠惰な人間で、つい最近ネットで見て合同式を覚えたばかりなので
739名無しさん@おーぷん :2015/02/08(日)17:13:03 ID:ADE
>>735
>>736
>>737

正解です!!
>>737により、最小値が1001なのも証明できますね

ついでに俺は
1/7=0.'142857'より
142857*7=999999
∴10^7≡1を見つけて
Σ(k=0~6)10^(7k)
のような数を生成しましたが
皆さんの解答の方が全然優れていますね……
740名無しさん@おーぷん :2015/02/08(日)17:26:27 ID:ADE
八十九問目
以下の図形を
(1)3個の図形に切り分け、辺比1:2の長方形を作れ。
(2)4個の図形に切り分け、正方形を作れ。

741名無しさん@おーぷん :2015/02/08(日)17:28:09 ID:ADE



大きい画像をどうぞ

742名無しさん@おーぷん :2015/02/08(日)17:52:30 ID:OYw





743名無しさん@おーぷん :2015/02/09(月)18:11:40 ID:4Hg
>>742
正解です!

解き方
面積分かってるから一辺の長さが出せます。あとはそんなに難しくないです
744名無しさん@おーぷん :2015/02/09(月)19:08:20 ID:4Hg
九十問目
Aからスタートして、海岸に2回よってBに行く行き方のうち、
最短のものを求めよ

745名無しさん@おーぷん :2015/02/09(月)19:09:55 ID:4Hg
海岸って下の青線です

※コラボ元:>>744
746Awn◆Awn//////E :2015/02/09(月)20:26:28 ID:YgN
>>744
左の海岸に一回
下の海岸に一回

ってこと?
光の反射みたいな問題に見えた
747名無しさん@おーぷん :2015/02/09(月)23:09:36 ID:4Hg
>>746
あ、そうです。
そうしないと問題成立しませんね
748Awn◆Awn//////E :2015/02/09(月)23:41:37 ID:0R0
点BのX軸に関する対称点をBx,Y軸に関する対称点をByとする。
・点Aと点Byを結んだ線とy軸との交点を点P
・点Pと点Bxを結んだ線とx軸との交点を点Q
とすれば、
点Aから点Bまでの題意を満たす最短距離は、点A→点P→点Q→点Bを結んだ線分である




749名無しさん@おーぷん :2015/02/10(火)09:29:51 ID:0X6
>>748
違います!
もっと簡単です!
750Awn◆Awn//////E :2015/02/10(火)10:50:17 ID:yIv
\(^o^)/マジか…
751名無しさん@おーぷん :2015/02/10(火)18:50:24 ID:0X6
>>744は前問と比べて割と簡単です
752名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)09:44:06 ID:IyL
最短距離は点A→点P→点Q'→点B'''

753名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)17:39:18 ID:Gzx
>>752
正解です!!
754名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)17:41:29 ID:Gzx
回りくどいことしなくても、下のようにすれば正解です

※コラボ元:>>744
755名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)17:58:25 ID:Gzx
九十一問目
30°で交わる2枚の鏡がある。
(1)下図◯にから出た任意の光線は6回以上は反射しないことを示せ。
(2)5回反射して×に行く道順を作図せよ。

756名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)18:02:54 ID:Gzx
>>755は難問です。
(1),(2)どちらから解いても難易度は変わりません。
片方でも解けたら教えてください。
757名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)18:30:58 ID:Gzx
主語抜けていたので訂正

(2)◯から出た光が5回反射して×に行く道順を作図せよ。
758名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)21:26:12 ID:l7y
(2)

759Awn◆Awn//////E :2015/02/11(水)21:27:20 ID:oIA
>>754
解答がエレガントで涙が出た
>>752
正解おめでとです!
760名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)22:10:59 ID:ooS
>>758
正解です!!!!!
早い!
もう(1)は簡単ですね

分からない人は折り紙だと思って、>>758
の黒い線に沿って折ってみることを考えましょう。
全体を透かしてみた時に赤い線が光線の軌跡になっています。
761名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)22:14:33 ID:ooS
>>755
まてよ
(1)の問題文
(1)下図◯にから出た任意の光線は6回より多く反射しないことを示せ。

じゃないと変かな……
訂正です
すいません
762名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)22:48:33 ID:BkB
(1)は、>>758の図で赤い光の直線が黒の線と最大6回しか
交わらないってことですね
763名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)22:50:24 ID:BkB
問題

[x]はxを越えない最大の整数を表す
x[x[x[x]]]=90 をみたすx>0を求めよ
764名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)23:10:05 ID:MnY
>>762
正解です
>>763
面白そうな問題ですね
765名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)23:35:39 ID:XDT
光が1回反射する毎に、速度の向きは15°ずつ角度が浅くなる

0<=α<=15°の場合、そのまま2枚の鏡の間から出てゆく
15°<α<=90°の場合、5回反射するまでには15°以下になる
90°<α<180°の場合、(180°-α)の角度の場合と同じ

766名無しさん@おーぷん :2015/02/11(水)23:38:59 ID:7oU
>>765
これでも正解です!
俺もこのやり方でやりました。
ただ(2)に繋がりません……
767名無しさん@おーぷん :2015/02/12(木)12:23:45 ID:8Kt
⚪︎からxまで6回反射して辿り着くと仮定して、(2)と同じような図をかいたら矛盾が示せるんじゃない
768名無しさん@おーぷん :2015/02/12(木)12:34:47 ID:8Kt
>>763
45/14
769名無しさん@おーぷん :2015/02/12(木)19:36:06 ID:cJr
>>763
3<x<4…①は明らかで、
[x[x[x]]]=k(∈N)とおくと、

x=90/k…②

①を使って3<90/k<4より

21<k<30

∴x=90/22,90/23,90/24,,,,,90/30

のうちからしらみつぶしに調べてく

って言うやり方しか思いつかなかった
770名無しさん@おーぷん :2015/02/12(木)19:58:19 ID:DQg
>>768
正解です

左辺は単調増加なので、[x]=3となります
(左辺)=x[x[3x]]となって、x≧3+1/3 とすると、左辺が90より大きくなる
よって 3<x<3+1/3 このとき[3x]=9 なので、(左辺)=x[9x] となる
後は、3<x<3+1/9, 3+1/9≦x<3+2/9, 3+2/9≦x<3+1/3
と場合分けて考えていけば解けます
771名無しさん@おーぷん :2015/02/12(木)21:09:46 ID:nBl
次の問題は出題者がいなかったら明日出します
772名無しさん@おーぷん :2015/02/12(木)22:08:30 ID:a4r
>>763
x = 3+d とおく。ただし、0<d<1 である

[x] = [3+d] = 3
x[x] = 3*(3+d) = 9+3d
x[x[x]] = (3+d)*[9+3d] = (3+d)*(9+[3d]) = 27+3[3d]+9d+d[3d]
x[x[x[x]]] = (3+d)*[27+3[3d]+9d+d[3d]] = (3+d)*(27+3[3d]+[9d+d[3d]]) = 90
整理すると
3[3d]+[9d+d[3d]] = 9(1-3d)/(3+d)

左辺は明らかにゼロ以上だから、0<=1-3d
また、d=1/3 は上の式を満たさないから
0<d<1/3

すると 0<3d<1 だから [3d]=0, 上の式は
[9d] = 3(1-3d)/(3+d)
0<9d<3 だから、[9d] = 1, 2

[9d]=2 のとき d=3/29
x = 3+3/29 = 90/29 となるが、これは元の方程式を満たさないので不適

[9d]=1 のとき d=3/14
x = 3+3/14 = 45/14
773名無しさん@おーぷん :2015/02/12(木)22:12:42 ID:a4r
>>772
訂正
[9d] = 3(1-3d)/(3+d) → [9d] = 9(1-3d)/(3+d)
774763 :2015/02/13(金)00:28:09 ID:YO5
>>772
これも正解です〜
775名無しさん@おーぷん :2015/02/13(金)19:17:51 ID:44X
九十三問目
下図のように角度θで正方形の一頂点から発射された小球が壁と弾性衝突
(入射角と反射角が等しく速さの減退しない衝突)を繰り返すことを考える。
(1)
小球が発射した頂点に戻ってくるためのθの必要十分条件を求めよ。
ただし、頂点に入射した小球は入射した道をそのまま戻るとする。
(2)
小球が発射した頂点に戻ってくるためのθの必要十分条件を求めよ。
ただし、頂点に入射した小球はその頂点を通る正方形の対角線に線対称の
道を通って反射するとする。



776名無しさん@おーぷん :2015/02/14(土)21:08:14 ID:Wgf
(1)
小球の軌道を壁で反転させるかわりに、正方形を反転させて小球はそのまま直進させる
正方形の辺の長さを1として
X=2n, Y=2m (n, m=0,1,2,3,...)の点を通ることが条件
ゆえに、θ=arctan(m/n)
777名無しさん@おーぷん :2015/02/14(土)22:49:15 ID:ZVa
>>776
正解!

高校生風に書けば
tanθが有理数って事ですね
778名無しさん@おーぷん :2015/02/16(月)00:22:16 ID:C8Y
(2)
少なくともtanθは有理数でなければならない。tanθ=q/p とする
>>776と同じ考え方で、直進した球が頂点で曲がり、
はじめ頂点(p,q)を通過し、次に(p,q)+(q,p)を通過し、次に(p,q)+(q,p)+(p,q)を通過、
次に(p,q)+(q,p)+(p,q)+(q,p)=(2(p+q),2(p+q)) を通過するので元の頂点にもどる
よってtanθが有理数であればよい
779名無しさん@おーぷん :2015/02/16(月)18:35:06 ID:Wcc
>>778
正解です!
xy格子平面で書くと正方形やジグザグ型になりますねー
780名無しさん@おーぷん :2015/02/16(月)18:39:16 ID:Wcc
九十四問目【早稲田大2013理系】

正四面体Sの正射影S'を平面Pに下ろす。
ただしPと正四面体は交面や交線、交点は持たないとする。

P'の面積の最大値を求めよ。
781名無しさん@おーぷん :2015/02/16(月)21:17:04 ID:4eb
九十四問目【早稲田大2013理系】
間違えた
訂正です

正四面体Sの正射影S'を平面Pに下ろす。
ただしPと正四面体は交面や交線、交点は持たないとする。

S'の面積の最大値を求めよ。
782名無しさん@おーぷん :2015/02/19(木)19:30:50 ID:PvG
S'の形が正方形になったときが面積最大
正四面体Sの辺の長さをLとするとL/2


783名無しさん@おーぷん :2015/02/19(木)23:49:17 ID:PXt
>>782
L^2/2ですね

結果の証明もよろしくです。。。
784名無しさん@おーぷん :2015/02/19(木)23:51:25 ID:PXt
明らかといえばそうかな……
785名無しさん@おーぷん :2015/02/25(水)06:36:35 ID:5Kd
16歳JKです

わたし、このスレが停まると数学板全体が
不活性化になったような錯覚がするの…

因みに顔は堀北真希に似てるって言われます
786名無しさん@おーぷん :2015/02/26(木)00:13:24 ID:nAF
正四面体の射影は三角形になる場合と、四角形になる場合がある

三角形の場合
辺BCを軸にして前後に回転させる
三角形の面積は
T = bc*ae/2 = L*√3/2Lcosα/2 = √3/4L^2 cosα <= √3/4L^2
(aeを軸にして回転させる場合も考えられるが、そのときの面積は小さい)


四角形の場合
上の場合の三角形の面積に、もう一つの三角形の面積を加えたものになる
S = √3/4L^2 cosα + √3/4L^2 cos(π-α-β) = √3/4L^2 (cosα - cos(α+β))

図から cosβ=1/3, sinβ=2√2/3 ゆえ、面積Sは
S = (sinα+cosα/√2)/√6 L^2

面積Sが最大値をとるとき dS/dα=(cosα-sinα/√2)/√6L^2=0 から、cosα=1/√3, sinα=√2/√3 を得る
これは図のように正四面体が左右対称に起き上ったときであって、このとき面積S=(√2/√3+1/√3/√2)/√6L^2 = L^2/2

上の三角形の面積T <= √3/4L^2 < L^2/2なので、求める面積の最大値はL^2/2

787名無しさん@おーぷん :2015/02/26(木)00:18:59 ID:nAF
三角形と四角形というように場合分けなんかせずに
正四面体を自由に回転させたときの面積を求める方法を考えたが
結局思い付かんかった
788名無しさん@おーぷん :2015/02/26(木)17:01:06 ID:gou
>>786
正解ですー
789名無しさん@おーぷん :2015/02/26(木)17:06:40 ID:gou
簡単な証明法は下の通り

対角線の正射影はLよりおおきくはならない

2本の長さLの直線がなす角θで交わった時にできる面積は
(1/2)L^2sinθ

どんなに大きくてもL^2/2以下

790名無しさん@おーぷん :2015/02/26(木)17:09:08 ID:gou
>>785
ごめんなさいね
少し家を空けてたので更新できませんでした
791名無しさん@おーぷん :2015/02/26(木)17:18:06 ID:gou
九十五問目
周期関数f(x)の周期がa,g(x)の周期がbであるとき、

次の関数のうち、任意のa,b,f,gについて周期関数になるものを全て選べ。

(1)f⚪︎g(x)
(2)f⚪︎g(f(x)+g(x))
(3){f(x)}^2
792名無しさん@おーぷん :2015/02/26(木)17:37:29 ID:Sv8
>>791の問題に欠陥があったので差し替えるか訂正します

ごめんなさい
793名無しさん@おーぷん :2015/02/26(木)17:45:52 ID:Sv8
九十五問目
青線が並行であることを示せ。
ただし緑の×は円の中心、赤点は接点

794名無しさん@おーぷん :2015/02/26(木)22:08:57 ID:rpH
同位角(または錯角)が等しいので2直線は平行になる

※コラボ元:>>793
795名無しさん@おーぷん :2015/02/27(金)15:12:12 ID:YwQ
>>794
正解!
796名無しさん@おーぷん :2015/02/27(金)15:25:30 ID:YwQ
九十六問目(小町算)
◯の中に+−×÷を入れて等式を完成させよ。
ただし数字を記入しなかった◯は数字をつなげて考える。
例)1◯2=12
(1)9○8○7○6○5○4○3○2=1
(2)9○8○7○6○5○4○3○1=2
(3)9○8○7○6○5○4○2○1=3
(4)9○8○7○6○5○3○2○1=4
(5)9○8○7○6○4○3○2○1=5
(6)9○8○7○5○4○3○2○1=6
(7)9○8○6○5○4○3○2○1=7
(8)9○7○6○5○4○3○2○1=8
(9)8○7○6○5○4○3○2○1=9
797名無しさん@おーぷん :2015/02/27(金)15:27:51 ID:YwQ
俺もまだ答え見てないので一緒に考えます。
飽きてきたら埋まってなくても次の問題いきます
798名無しさん@おーぷん :2015/02/27(金)15:31:05 ID:YwQ
()の使用は認めません
799名無しさん@おーぷん :2015/02/27(金)15:34:30 ID:YwQ
(1)98÷7-6-5+4-3×2=1
800名無しさん@おーぷん :2015/02/27(金)23:35:45 ID:xdU
(2)9-8+7+6-5-4-3×1=2
801名無しさん@おーぷん :2015/02/27(金)23:42:01 ID:D8q
俺も(2)がたった今、出来た
(2)9+8+7-6x5+4+3x1=2

#検算用のLisp
(+ (+ (- (+ 9 8 7) (* 6 5)) 4 3) 1)
802名無しさん@おーぷん :2015/02/27(金)23:44:42 ID:xdU
(3)9-8+7+6-5-4-2×1=3
(2)の2と3を入れ替えただけ
803名無しさん@おーぷん :2015/02/27(金)23:47:39 ID:D8q
(5)9+8+7-6x4±3x2-1

#検算用のLisp
(- (+ (- (+ 9 8 7) (* 6 4)) (* 3 2)) 1)
804801 :2015/02/27(金)23:52:47 ID:D8q
>>801
すいません。訂正します。m(_ _)m
×:(2)9+8+7-6x5+4+3x1=2
○:(2)9+8+7-6x5+4+3+1=2
805名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)01:00:19 ID:3Fn
(5)9+8-7-6+5-3-2×1=4
806名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)01:04:32 ID:3Fn
>>805
みす、(4)
807名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)01:06:30 ID:3Fn
(6)9+8-7+5-4-3-2×1=6
808名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)01:08:08 ID:3Fn
(7)9+8-6+5-4-3-2×1=7
809名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)01:08:53 ID:3Fn
(8)9+7+6-5-4-3-2×1=8
810名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)01:09:52 ID:3Fn
(9)8-7+6+5-4+3-2×1=9
811名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)13:23:01 ID:Vv9
>>800
>>802
>>803
>>804
>>805
>>807
>>808
>>809
>>810

正解です!!
812名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)13:38:29 ID:Wsk
九十七問目
(1)a^4-4b^2を因数分解せよ。
(2)「任意の自然数nに対してn4+aが素数でない」という条件を満たす
自然数aが無限個存在することを証明せよ。
813名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)13:39:18 ID:Wsk
>>812
ミスった
訂正
九十七問目
(1)a^4+4b^2を因数分解せよ。
(2)「任意の自然数nに対してn4+aが素数でない」という条件を満たす
自然数aが無限個存在することを証明せよ。
814名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)13:39:57 ID:Wsk
>>813
うわああ
またミスったすいません

九十七問目
(1)a^4+4b^4を因数分解せよ。
(2)「任意の自然数nに対してn4+aが素数でない」という条件を満たす
自然数aが無限個存在することを証明せよ。
815名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)13:41:15 ID:Wsk
>>814
n4はn^4のことです。。。

何回もすいません
816名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)15:27:29 ID:3Fn
(1)
(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)

(2)
bを自然数とする。
n^4+4b^4
=(n^2+2nb+2b^2)(n^2-2nb+2b^2)

n^2+2nb+2b^2,n^2-2nb+2b^2はともに自然数より、n^2-2nb+2b^2>1であればn^4+4b^4が合成数となる。
n^2-2nb+2b^2=(n-b)^2+b^2≧b^2
よって、bを2以上の整数として、a=4b^4とおけば条件を満たすので、そのようなaは無数に存在する
817名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)18:06:59 ID:HDg
>>816
正解です!
ソフィージェルマンの恒等式(1)を用いた整数問題の証明でした!
818名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)19:33:28 ID:5yo
九十八問目

f(n)=2^2^n+1(n=0,1,2,3,……)となる数をフェルマー数と言う。


(1)
f(n)=2+Π[k=0→n-1]f(k)
を示せ。
(2)
任意の二つの異なるフェルマー数は互いに素であることを示せ。
(3)
(2)を用いて素数が無限に存在することを示せ。

注)Π[k=0→n-1]f(k)=f(0)f(1)f(2)…f(n-2)f(n-1)
819名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)19:55:35 ID:5yo
Test
820名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)19:56:54 ID:5yo
パソコンの調子悪いな
821名無しさん@おーぷん :2015/02/28(土)20:46:18 ID:l1O
問題

整数係数の多項式f(x)で、次の2式を同時に満たすものは存在しないことを示せ
f(3−√2)=7−2√2 と f(√5−2)=1+3√5
822名無しさん@おーぷん :2015/03/01(日)07:54:01 ID:U2b
>>821
3−√2ならば第n項は、An* C*3^k*(−√2)^(n-k)で
同様に√5−2なら第n項は、An* C*√5^k*(-2)^(n-k)
だから√2と√5は

って2項定理使って
√2と√5の間に重複が発生しえない、
で解けそうだけど…
今は眠いので頭が回らないので寝る
(つ∀-)オヤスミー
823名無しさん@おーぷん :2015/03/01(日)09:49:53 ID:7Cc
>>821
無理共役使うとか………んん
824名無しさん@おーぷん :2015/03/01(日)12:06:19 ID:uOV
>>818
(1)
帰納法を用いてf(n)-2=Π[k=0→n-1]f(k)を示す。
n=1のとき明らか。n=kで成立すると仮定する。
Π[l=0→k]f(l)
=f(k)×Π[l=0→k-1]f(l)
=(2^2^k+1)(2^2^k-1)
=2^2^(k+1)-1
=f(k+1)-2
これよりn=k+1でも成立。
よってf(n)-2=Π[k=0→n-1]f(k)

(2)
f(a)とf(b)が互いに素でないとし、mを1でない公約数とする。(a>b)
(1)より
f(a)-Π[k=0→a-1]f(k)=2
a>bより左辺はmで割り切れる。右辺もmで割り切れるのでm=2。ところがf(a),f(b)は奇数であるのでmは2で割り切れないので矛盾。
よってフェルマー数は互いに素である。

(3)
各フェルマー数f(n)から素因数a[n]を被らないように選びとり集合Aをつくる事を考える。(2)より、f(n)はf(1),...,f(n-1)と互いに素なので、a[n]をa[1],...,a[n-1]と被らないように取ることができる。Aは各要素が素数からなる無限集合であるので、素数は無限に存在する。
825名無しさん@おーぷん :2015/03/01(日)20:06:19 ID:zjy
>>824
正解です!!!
826名無しさん@おーぷん :2015/03/01(日)20:22:21 ID:PTf
一応、>>821の解答は明日の晩以降に書き込みます
>>821をとばして、次の問題を出題してもらってかまいません
827名無しさん@おーぷん :2015/03/01(日)21:04:43 ID:uOV
>>821
f(x)は整数多項式とすると
f(x)=(x^2-6x+7)Q(x)+2x+1
f(x)を(x^2-6x+7)(x^2+4x-1)で割った余りR(x)もまた整数多項式となる。よって、ある整数a,bを用いて
R(x)=2x+1+(ax+b)(x^2-6x+7)
とかける。この式にx=√5-2を代入すると、因数定理より左辺は1+3√5となる。a,bは整数より、a,bの解は有理数の項と無理数の項に分けることで連立方程式に帰着されるが、これを満たす整数a,bは存在しない。
よって>>821を満たす整数多項式は存在しない
828名無しさん@おーぷん :2015/03/01(日)21:58:54 ID:PTf
>>827
正解! 正解が出たので用意した解答も書いときます

f(x)が存在したとする
f(3−√2)=2(3−√2)+1, f(√5−2)=3(√5−2)+7 より
f(x)−2x−1=0, f(x)−3x−7=0 はそれぞれ x=3−√2, x=√5−2 を解にもつ
f(x)−2x−1=P(x)(x^2−6x+7)
f(x)−3x−7=Q(x)(x^2+4x−1) (P(x)、Q(x)は整数係数多項式) と書ける
上から下を引いて、 x+6 = P(x)(x^2−6x+7)−Q(x)(x^2+4x−1)
x=1 を代入すると 7 = P(1)・2−Q(1)・4 奇数=偶数となって矛盾
829名無しさん@おーぷん :2015/03/01(日)22:24:30 ID:0UU
百問目!!!!

連続して合成数が続く領域を素数砂漠と言い、連続した合成数の個数を
素数砂漠の長さと呼ぶ。

例えば、
数列13,14,15,16,17には14,15,16の三つの合成数が連続し、素数砂漠の長さは
3である。


いくらでも長い素数砂漠が存在することを示せ。
830名無しさん@おーぷん :2015/03/02(月)21:59:06 ID:AQ1
>>829
n!+2, n!+3, n!+4・・・n!+n のn-1個は連続する合成数なので
nを好きなだけ大きくすればよい
831名無しさん@おーぷん :2015/03/03(火)21:52:08 ID:M2y
>>830
正解!!
832名無しさん@おーぷん :2015/03/03(火)22:02:46 ID:M2y
百一問目

ベルトランの仮説:
自然数 n ≥ 2 に対して、n < p ≤ 2n を満たす素数 p が存在する


ゴールドバッハ予想
全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる

ゴールドバッハ予想を真と仮定して、ベルトランの仮説を証明せよ。
833名無しさん@おーぷん :2015/03/03(火)22:05:37 ID:M2y
簡単かな…最近素数に凝ってるので素数問題が多いです。。。
834名無しさん@おーぷん :2015/03/04(水)00:00:38 ID:FPv
>>832
nが素数でないとき n < p ≦ 2n を満たす素数pが存在しないとすると
2n以下の任意の素数p,qにたいして p+q < 2n となるので
ゴールドバッハ予想に反する
835名無しさん@おーぷん :2015/03/04(水)00:02:04 ID:FPv
ついでに問題を投下

1次以上の整数係数多項式f(x)で、次の条件をみたすものは存在しないことを示せ
「すべての自然数nに対して、|f(n)|の値が素数になる」
836名無しさん@おーぷん :2015/03/04(水)00:56:10 ID:6d0



>>835
こんな感じかなあ
分かりにくくてごめんなさい
837名無しさん@おーぷん :2015/03/04(水)01:03:42 ID:6d0
捕捉の計算間違ったので訂正
まあ数字じたいに意味はないんだけど...




838名無しさん@おーぷん :2015/03/04(水)02:23:38 ID:BfL
>>834
nが素数の場合の議論が抜けてる
2(n+1)にゴールドバッハ予想を適用すればいけるはず
839名無しさん@おーぷん :2015/03/04(水)18:54:32 ID:CUP
>>838
確かに! 2(n+1)=p+q (2≦q≦pは素数)
とすると n<p≦2n ですね
840名無しさん@おーぷん :2015/03/04(水)18:59:11 ID:CUP
>>836
正解です! 定数項a自体が素数で、f(a)=aとなる場合もあるのですが、
いずれにせよ十分大きいkに対して|f(x+k)|を考えればOKだと思います

一応用意した解答も書きます・・・
f(x)が存在したと仮定する。 |f(1)|=p (p:素数) とすると
f(1), f(1+p), f(1+2p), f(1+3p),・・・・
はすべて pで割り切れ、かつ絶対値が素数となる。つまり、すべてpまたは−pと等しい
このとき、f(x)−p=0 または f(x)+p=0 が、無限個の異なる解をもつことになり矛盾
841836です :2015/03/04(水)20:27:07 ID:Yiq
>>834
>>838
>>839
正解です!

>>840
あ、そうですね
定数項が素数の時を考えるのを忘れてました。
用意された解答の方がシンプルでいいな……
842名無しさん@おーぷん :2015/03/04(水)20:44:17 ID:Yiq
ネタがないので次の問題は明日にします……

誰か問題だしてくれてもOKです……
843問題 :2015/03/05(木)09:35:19 ID:EFC
命題計算 LK において
(1) a⊃b → ¬a∨b,
(2) ¬a∨b → a⊃b
という形のシークエントはいずれも証明可能であることを証明せよ。
844名無しさん@おーぷん :2015/03/05(木)19:52:53 ID:gH2
>>843
問題が理解できん
明らかじゃないのか…
845名無しさん@おーぷん :2015/03/05(木)20:46:59 ID:DPa
>>843 推論規則つかって証明すればいいのか?
(1)
a → a   b → b
a, a⊃b → b
a⊃b → ¬a, b
a⊃b → ¬a∨b, ¬a∨b
a⊃b → ¬a∨b

(2)
a → a   b → b
a → a, b   a, b → b
a, ¬a → b
a, ¬a∨b → b
¬a∨b → a⊃b
846843 :2015/03/06(金)08:06:20 ID:uLx

      / ̄ ̄\
    /ノ( _ノ  \
    | ⌒(( ●)(●)       (1)正解、(2)不正解です!
    .|     (__人__) /⌒l
     |     ` ⌒´ノ |`'''|
    / ⌒ヽ     }  |  |            ____
   /  へ  \   }__/ /           /─  ?\
 / / |      ノ   ノ           /●))  ((●\ . ’, ・  >>845
( _ ノ    |      \´       _   /    (__人__)’,∴\ ,  ’
       |       \_,, -‐ ''"   ̄ ゙̄''?---└'´ ̄`ヽ/  > て
       .|                        __ ノ /  (
       ヽ           _,, -‐ ''" ̄ヽ、 ̄ `ー'´  /  r'" ̄
         \       , '´          /       .|
          \     (           /       |
            \    \        /

(2)
a → a
¬a, a →    b → b
¬a, a → b   b, a → b
   a, ¬a∨b → b
   ¬a∨b → a⊃b
847名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)17:46:19 ID:MZW
>>846
あのさあ…
848名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)18:06:49 ID:MZW
百四問目(4つの4)

4つの4を用いて、以下の数を作れ。

(1)11
(2)22
(3)33
(4)44
(5)55
(6)66
(7)77
(8)88
(9)99
(10)100

ルール
44のように任意桁の数字を作って良い。

.4のように、整数部分が0の小数はその0を省略できる。

解答に際して、以下の記号は何回でも用いて良い。
四則演算と()
小数点
冪乗(整数乗のこと)
平方根
階乗
循環小数
(注意)4/9=0.44444……… = 0.(4) = .(4)のように、循環節を()でくくって表記する
849名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)18:12:44 ID:MZW
(解答例)
例えば149を作りたいなら、

149=√√√{(√4/.4)^(4!)}+4!

のように作ります。

ルール分からなかったらWikipediaにもあるので参考にしてください
http://ja.m.wikipedia.org/wiki/4つの4

俺も答え知らないので一緒に解答します
飽きてきたら次の問題
850名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)18:14:04 ID:MZW
>>849
あ、なんかwikiのURL上手く行ってないみたい
4つの4で検索してください……
851名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)18:14:43 ID:MZW
(4)44-4+4
852名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)20:20:28 ID:vY8
(2)22=4!+√4−√4−√4
853名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)20:45:15 ID:A0p
俺も(2)できた
4!/4*4-√4
854名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)20:48:29 ID:A0p
(8)44*(√√4)^(√4)
855名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)20:51:57 ID:vY8
(5){4!/.(4)} + 4/4
856名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)21:00:42 ID:bpK
(1)4/.4+4/4
857名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)21:02:23 ID:bpK
77とかできる気がしないなw
858名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)21:14:23 ID:vY8
(3)4!/√(.(4)) − √(4/.(4))
859名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)21:14:59 ID:hUC
残り6,7,9,10
860名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)21:21:23 ID:vY8
(7)(4/.(4))^(√4) − 4
861名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)22:27:47 ID:mM3
(6)4*4*4+√4
862名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)22:30:34 ID:mM3
(9)4!*4+√(4/.(4))
863名無しさん@おーぷん :2015/03/06(金)22:31:35 ID:mM3
(10)4!*4+√(4*4)
864名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)13:11:55 ID:E7W
>>852
>>855
>>858
>>860
>>861
>>863
>>862

正解です!
865名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)13:12:44 ID:E7W
瞬殺されちゃったのでもう一回4つの4を出します
866名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)13:22:58 ID:E7W
百五問目
4つ以下の4を用いて、以下の数字を作れ。
(1)111
(2)222
(3)333
(4)444
(5)555
(6)666
(7)777
(8)888
(9)999
(10)0
(11)1000
(12)200
(13)300
(14)400
(15)500
(16)600
(17)700
(18)800
(19)900


百四問目のルールに以下のルールを加えるとする。
・4つ以下の4で作れば良い
(例)32=4*4*√4
・循環節に数式を入れて良い
(例).(√4)=0.2222……、.(4*4)=0.(16)=0.1616161……など
・演算子%を用いて良い。
(例)4%=0.04、444%=4.44
867名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)13:27:37 ID:E7W
簡単なのは先に済ませておきます
(1)444/4
(2)444/√4
(4)444
(9)444/.(4)
(10)4-4
868名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)13:29:45 ID:E7W
>>866
あ、%は数式に付けるのもいいですよー
(4*4)%=0.16
869名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)13:33:01 ID:E7W
>>868
あと、{.(4)}%=(4/9)*(1/100)
みたいなのもOKです
870名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)13:45:42 ID:YgU
(6)444/(√.(4))
(12)4/((√4)%)
(14)4*4/4%
(18){4*4/(√4)%}
871名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)14:24:09 ID:LGJ
(17) (4+√4)!-4!+4
872名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)14:50:20 ID:LGJ
(11) (4^4)*4-4!
873名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)20:42:07 ID:LGJ
(8) 444*sqrt(4)
(13) 4^4+44
874名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)21:11:17 ID:zj2
(19)4/((.(4))%)
875名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)21:17:53 ID:zj2
(16)(4+√4)/((4/4)%)
876名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)22:14:36 ID:zj2
(3)√4/{{.(4/{{√.(4)}%})}%}
877名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)22:23:27 ID:h36
残り5、7、15

天才が多すぎるw
878名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)22:24:17 ID:h36
それとも一人の天才が全部やってるのか
879名無しさん@おーぷん :2015/03/07(土)22:29:15 ID:FeW
(15)(4+4+√4)/((√4)%)
880名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)00:22:33 ID:yF8
(5)4/{.({4+√4}!)}%
881名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)00:39:51 ID:yF8
(7){√4 − .(4)}/{.(4/{√4}%)}%
882名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)01:05:29 ID:xmu
(14)(4!!)!!+4*4
883名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)11:22:09 ID:aNy
ここには天才しかいない件wwwwwwwwwwwwwww
884名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)11:22:39 ID:aNy
俺三秒くらい考えたけど全く分からんwwwwwwwwwww
885名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)11:42:48 ID:Zua
(7)(4!!)!!*√4+4/.(4)
886名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)12:12:03 ID:Zua
(14)
√(4*4)*4/(4%)
√(4*4*4/((4%)%))
887名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)23:10:47 ID:qOK
>>871
>>872
>>874
>>875
>>876
>>879
>>880
>>881
>>882
>>885
>>886

大正解です!!!!
全部正解してるみたいです!

二重階乗はセーフとしました
888名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)23:12:00 ID:qOK
>>873
安価つけんの忘れてました
正解です!
889名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)23:19:26 ID:qOK
百六問目
今回は緩めの問題

5Lの容器と3Lの容器を使って4Lを測りとれ。
ただし、水はいくらでもあり、容器の形は不定とする。
それぞれの容器を何回使っても良い。
890名無しさん@おーぷん :2015/03/08(日)23:47:24 ID:jNO
まず5Lの水を計り
2Lと3Lに分ける
3Lを捨てて
そこへ先ほどの2Lを移す
再び5Lを計り
そのうち1Lを2Lへ足して3Lとする
残りは4L
891名無しさん@おーぷん :2015/03/09(月)22:58:47 ID:psa
>>890
正解です!ちょろい問題ですね
892名無しさん@おーぷん :2015/03/09(月)23:15:49 ID:psa
百七問目
下図のx、y角度を求めよ。

893名無しさん@おーぷん :2015/03/09(月)23:16:51 ID:psa
3つの長方形は全て合同です
894名無しさん@おーぷん :2015/03/10(火)00:40:23 ID:poo
>>892
スマホで見ると歪んで見えますね...
四角形が三つ重なってるのは分かると思うので、
それらがすべて合同な長方形だと思ってください
895名無しさん@おーぷん :2015/03/10(火)00:47:08 ID:YNS
x=140°  y=160°

※コラボ元:>>892
896名無しさん@おーぷん :2015/03/10(火)23:47:19 ID:poo
百九問目
n=1,2,3,……に対してn(n+1)/2を満たす数を三角数、n^2を満たす数を平方数という。

三角数であり、かつ平方数である数は例えば1や36がある。

三角数であり、かつ平方数である数は無数にあるか。
897名無しさん@おーぷん :2015/03/10(火)23:49:27 ID:poo
あ、ちょっと待って
898名無しさん@おーぷん :2015/03/10(火)23:51:52 ID:poo
ちょっと難しすぎるってか専門的だから問題差し替えます...

解いてみてもいいですけど...
899名無しさん@おーぷん :2015/03/11(水)00:09:10 ID:Uax
百九問目
半径比が1:0.6の外サイクロイドの外形をかけ。
半径の0.6の円が単位円上を滑らず転がることを考える。
900名無しさん@おーぷん :2015/03/11(水)00:13:03 ID:Uax
ここでは線分の位置関係が合ってれば正解とします。
文明の力を使っても構いません(使わなくてもなんとかなる)
途中経過はいりません。



901名無しさん@おーぷん :2015/03/11(水)10:05:42 ID:BTJ
>>896
無数に存在する
n(n+1)=2m^2を満たす自然数組(n,m)が無数に存在することを示せばよい
n+1=x^2,n=2y^2を満たす自然数組(x,y)が存在すれば、(n,m)=(2y^2,xy)とすることで解を被ることなく構成できる
よってx^2-2y^2=1を満たす(x,y)が無数に存在することを示せばよい。これはペル方程式であるので、次のようにして無数に存在する解を全て求めることができる:
a=3+2√2として、a^n=x[n]+y[n]√2によって定まる自然数組(x[n],y[n])
よって題意は示された

具体例を挙げると
(x,y)=(3,2),(17,12),(577,408)...
(n,m)=(8,6),(288,204),(332928,235416)...
902名無しさん@おーぷん :2015/03/11(水)23:15:45 ID:ChA


903名無しさん@おーぷん :2015/03/12(木)20:34:18 ID:7na
>>901
>>902
正解です!
904名無しさん@おーぷん :2015/03/12(木)20:54:11 ID:7na
百十問目
n番目に小さい素数をp_nとおく。
また、n以下の正の整数の素因数はp_1,p_2,……p_tであるとする。
ここで、
Σ[k=1→n]1/k < Π[k=1→t(n)](1+p_k+(p_k)^2+……) ・・・・✳︎
が成り立つ。
これは、右辺を展開し並べてみると左辺の各項が全て現れ、かつ
余分な項が出ることから明らかである。

(1)✳︎の左辺が発散することを示せ。
(2)log(1+x)<x
(3)p_i-1>p_(i-1)を用いて、素数の逆数の和である、

1/2+1/3+1/5+1/7+……

が∞に発散することを示せ。
905名無しさん@おーぷん :2015/03/12(木)20:55:30 ID:7na
訂正しました

百十問目
n番目に小さい素数をp_nとおく。
また、n以下の正の整数の素因数はp_1,p_2,……p_tであるとする。
ここで、
Σ[k=1→n]1/k < Π[k=1→t](1+p_k+(p_k)^2+……) ・・・・✳︎
が成り立つ。
これは、右辺を展開し並べてみると左辺の各項が全て現れ、かつ
余分な項が出ることから明らかである。

(1)✳︎の左辺が発散することを示せ。
(2)log(1+x)<x
(3)p_i-1>p_(i-1)を用いて、素数の逆数の和である、

1/2+1/3+1/5+1/7+……

が∞に発散することを示せ。
906名無しさん@おーぷん :2015/03/12(木)20:57:56 ID:7na
また間違えた……

百十問目
n番目に小さい素数をp_nとおく。
また、n以下の正の整数の素因数はp_1,p_2,……p_tであるとする。
ここで、
Σ[k=1→n]1/k < Π[k=1→t](1+1/p_k+1/(p_k)^2+……) ・・・・✳︎
が成り立つ。
これは、右辺を展開し並べてみると左辺の各項が全て現れ、かつ
余分な項が出ることから明らかである。

(1)✳︎の左辺が発散することを示せ。
(2)log(1+x)<xを示せ。
(3)p_i-1>p_(i-1)を用いて、素数の逆数の和である、

1/2+1/3+1/5+1/7+……

が∞に発散することを示せ。
907名無しさん@おーぷん :2015/03/13(金)20:24:31 ID:DXG
(1) ∫[1→n+1]1/x dx = log(n+1) < Σ[k=1→n](1/k) より、n→∞ とすれば発散する
(2) f(x) = x-log(1+x) とおくと f'(x) = 1 − 1/(x+1)なので
  f(x)の最小値は、f(0)=0 よって x>0 なら、 f(x) > 0 なので log(1+x) < x
(3)
(✳︎の右辺) < Π[k=1→t]{1/(1−1/p_k)} = Π[k=1→t](p_k/(p_k−1)) より
✳︎でn→∞ とすれば、Π[k≧1](p_k/(p_k−1)) は発散する。このlogをとると
Σ[k≧1]log(p_k/(p_k−1)) となり、これも発散する
(2)より log(p_k/(p_k−1)) < p_k/(p_k−1) − 1 = 1/(p_k−1) < 1/p_(k-1) なので
Σ[k≧1]1/p_(k-1) は発散する。よって 1/2+1/3+1/5+1/7+…… は発散する
908名無しさん@おーぷん :2015/03/13(金)22:44:18 ID:5h6
>>907
正解でーす!

誘導多すぎかな
909名無しさん@おーぷん :2015/03/13(金)23:38:28 ID:4G5
百十一問目



910名無しさん@おーぷん :2015/03/13(金)23:45:39 ID:4G5
上図において、A、Bは定点で座標は図の通りであり、C,DはCD=1を保ってy軸上を動く

この時、四角形ABCDの周の長さが最小になるCの座標を、作図によって求めよ。
911名無しさん@おーぷん :2015/03/13(金)23:47:01 ID:4G5
作図をして、かつ座標を求めてください!
912名無しさん@おーぷん :2015/03/13(金)23:51:28 ID:yiK
作図に使ってください

※コラボ元:>>909
913名無しさん@おーぷん :2015/03/14(土)01:39:12 ID:wm0
>>909
E(-1,1)をとって、AEとy軸の交点がD
Dからy座標を-1したところがC
914名無しさん@おーぷん :2015/03/14(土)01:44:49 ID:DLE
緑のところw



915名無しさん@おーぷん :2015/03/14(土)13:55:02 ID:kd2
Cだけ作図するならAを動かしたほうがはやいな
916名無しさん@おーぷん :2015/03/14(土)22:36:16 ID:JKi
>>914
正解です!
Aを移動させると図からはみ出ますねw
917名無しさん@おーぷん :2015/03/14(土)22:36:47 ID:JKi
まあcの座標は計算してください
918名無しさん@おーぷん :2015/03/14(土)23:06:46 ID:JKi
百十二問目
立方体が全て体積の異なる立方体によって分割され得ないことを証明せよ。
ただし、正方形は異なる面積の正方形によって分割されるという定理を用いて良い。
(分割の一例)



919名無しさん@おーぷん :2015/03/14(土)23:10:57 ID:JKi
>>918
上図の数字一辺の長さです。
問題解くのには関係ありませんが……
920名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)15:52:02 ID:5ui
テスト
921名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)15:56:51 ID:N7D
あげ
922名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)16:17:19 ID:DuN
tes
923名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)20:06:11 ID:d9X


924名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)20:12:18 ID:XRK
有限個って縛りがないならびみょいな
925名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)21:27:34 ID:UX1
>>923
正解です!
>>924
言い忘れましたごめんなさい
926名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)21:38:51 ID:5ui
百十三問目(この問題は中学程度の物理の知識が必要です)





上図のように縦a横bの長方形の内部が様々な長方形で区切られている。
この時、内部のすべての長方形の縦の辺は金属でできてあり、
横の辺は不導体でできている。
ここで、内部の長方形すべてを、




のように置き換えた電気回路を考える。
この電気回路は例えば縦y、横xの正方形には
x/yΩの抵抗を一つつける、というものである。
927名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)21:41:32 ID:UX1
ここで、できた回路に下図のようにb[v]の電圧をかける。


※コラボ元:>>926
928名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)21:47:42 ID:UX1
この時、縦x、横yの長方形のあった部分に埋め込まれた抵抗には
(1)A、(2)vの電気が流れる。
これより、長方形を長方形で分割する方法を平面抵抗回路によって表現
できるのである。これは、逆に立体交差のない抵抗回路の電圧と電流を
測ると、長方形の分割解を見つけられる、ということである。

問1
(1),(2)に適切な数式をa,b,x,yのうち、必要なものを使って答えよ。
929名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)21:53:12 ID:5ui
問3
1Ωの導線を下図のように繋ぎ電圧を1vにした。
この回路から長方形の分割解を得たとき、
それは全問の図のように正方形をすべて大きさの異なる正方形に分けた解となってるか。





930名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)21:54:18 ID:UX1
あ、問2ですね。
緑の⚪︎を両端にもつ全ての線分が1Ωです。
931名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)21:58:39 ID:UX1
問2では全ての1Ω抵抗の電圧と電流を実験的に図ります。
932名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)22:03:24 ID:UX1
問題文が複雑なので質問してくれてもおkです。
933名無しさん@おーぷん :2015/03/15(日)22:50:02 ID:5ui
読めば分かると思いますが、

>>926
の最後の方の正方形を長方形に、
>>928
(1)Aの電流がながれ、(2)Vの電圧がかかる
という感じに訂正してください。
934Awn◆Awn//////E :2015/03/17(火)22:42:21 ID:6aS
>>929




こうなったもののこの後が分からなくて詰んだ…
935名無しさん@おーぷん :2015/03/17(火)23:13:13 ID:Zfs
>>934
違いますね
>>927を回路に直すと





のようになります。
>>928はこれの逆翻訳だと思ってください。
936名無しさん@おーぷん :2015/03/17(火)23:14:57 ID:Ma4
>>934
あ、図自身はあってますよ。
あとこれはあることに気づくと一瞬で解答できます。
937名無しさん@おーぷん :2015/03/17(火)23:17:36 ID:Ma4
>>935の最後の行>>928じゃなくて>>929の間違えです
938名無しさん@おーぷん :2015/03/18(水)19:56:18 ID:YvI
問1
(1)y (2)x
問2
図の三角形の導線を3つの正方形で表すのが無理っぽい
939名無しさん@おーぷん :2015/03/18(水)20:23:13 ID:eFF
キルヒホッフの法則を思い出しながらやってみたが
方程式が10本以上にもなって手に負えなくなった
940名無しさん@おーぷん :2015/03/18(水)21:10:27 ID:dl6
>>938
(1),(2)は正解でーす!
厳密な証明はキルヒホッフ使いますが、答えから逆算しても答えられるでしょう。
941名無しさん@おーぷん :2015/03/18(水)21:14:05 ID:dl6
問2の答えですが、
青色の抵抗器にかかる電圧と電流から、この二本の抵抗は同じ正方形
で表されます。
つまり、「全て異なる大きさで分けた解」とは言えません。

※コラボ元:>>929
942名無しさん@おーぷん :2015/03/18(水)21:15:49 ID:dl6
訂正ですー

青色の抵抗器にかかる電圧と電流が同じのことから、この二本の抵抗は同じ正方形
で表されます。
943名無しさん@おーぷん :2015/03/18(水)22:47:00 ID:Nhv
ついでに、正方形を異なる大きさ正方形で充填する最小解はこれです。



回路のプログラム的なやつ(?)で実測して発見したらしいですよ
944名無しさん@おーぷん :2015/03/18(水)23:08:07 ID:Nhv
百十四問目
1~17の番号のついた角度の総和を求めよ。




945名無しさん@おーぷん :2015/03/19(木)00:05:24 ID:amf
>>944
こんな風に角を移動させると



結局、内角の和になるので




180*9=1620
946名無しさん@おーぷん :2015/03/19(木)09:45:24 ID:7UN
11角形の内角の和と一緒なのか
変形して11角形にできるのかな?
947名無しさん@おーぷん :2015/03/19(木)23:51:03 ID:qgB
>>945
正解です!

次の問題は明日で
948名無しさん@おーぷん :2015/03/20(金)21:23:50 ID:4BQ
百十五問目
949名無しさん@おーぷん :2015/03/20(金)21:24:11 ID:4BQ
百十五問目



950名無しさん@おーぷん :2015/03/20(金)21:30:51 ID:0Qb
上の図形を3つの相似な図形に分割せよ。
(※合同じゃないよ)

ただし、格子点によって作図可能な線を使わないで分割しても良い
(※曲線などによる分割も許される、ということです。)
951名無しさん@おーぷん :2015/03/20(金)21:33:09 ID:0Qb
Googleの主催するゲーム大会(?)で出された問題だそうです。
数学力と言うよりは発想力を試す問題です。
952名無しさん@おーぷん :2015/03/20(金)21:38:04 ID:0Qb
>>950
(※ )は読み間違えを防ぐ注意喚起の文です

合同な図形ではいけない、と言うわけではありません。。。
953名無しさん@おーぷん :2015/03/21(土)13:03:19 ID:lDm
>>949
こんな感じかな?
別解はあるんだろうけど…



954名無しさん@おーぷん :2015/03/22(日)22:35:27 ID:Jdd
>>953
正解でーす

俺も他に考えたんだけど思いつきませんでした
955名無しさん@おーぷん :2015/03/22(日)22:38:07 ID:Jdd
百十六問目

xを求めよ。



956名無しさん@おーぷん :2015/03/22(日)22:38:28 ID:Jdd
俺も考え中です。。。
957【18】 :2015/03/22(日)23:08:08 ID:fMc
有名問題すぎるかな…
958名無しさん@おーぷん :2015/03/23(月)00:29:41 ID:Cr2
おっ簡単じゃんと思ったら最後の角度が分からなくてワロタ
959名無しさん@おーぷん :2015/03/23(月)13:44:25 ID:6S8
とりあえずシンプルな解答はなさそう
960名無しさん@おーぷん :2015/03/23(月)14:17:03 ID:iQ6
ラングレーの問題って名前がついてる問題だね
961名無しさん@おーぷん :2015/03/24(火)16:14:50 ID:MI6
有名な問題ではあるが、解答方法がたくさんあるっていうスルメみたいな問題なんだよな…
962名無しさん@おーぷん :2015/03/25(水)11:50:29 ID:3L8
四角形の頂点を左上から反時計回りに順にABCDと名前を付ける
CD上にAB=BEとなる点Eをとる
BC=AB=BEなどから角度を求めることで
AB=BC=AE=BE=DE
となることがわかる
△AEDはAE=DEの二等辺三角形であるので、∠BDE=30°となる
963名無しさん@おーぷん :2015/03/25(水)23:17:59 ID:CMI
>>962
CD上にAB=BEとなる点とれますか?

答えはあってます

※コラボ元:>>955
964名無しさん@おーぷん :2015/03/25(水)23:28:32 ID:FAG
>>962
あ、ちょっと待って
965名無しさん@おーぷん :2015/03/25(水)23:40:42 ID:FAG
>>962
あ、正解です!!

失礼しました
こういうことですね

※コラボ元:>>963
966名無しさん@おーぷん :2015/03/25(水)23:44:06 ID:FAG
でも最後の行だけ違いますね
角BDE=40で角ADE=70よりxを求めます。


次の問題は明日です
967名無しさん@おーぷん :2015/03/27(金)22:31:17 ID:6zM
すいません
全然更新できませんでした
968名無しさん@おーぷん :2015/03/27(金)22:38:24 ID:6zM
百十七問目
以下整数分について、3分の砂時計と5分の砂時計を用いて測ることのできない
時間(分)を全て求めよ。必要であれば整数n,m,...などの文字を自由に使って良い。

また、0分の時、全ての砂は砂時計の片方の側にあり、
砂時計をひっくり返すなどの動作の時間は無視できる。
969名無しさん@おーぷん :2015/03/27(金)22:41:15 ID:6zM
引っ越しでしばらくインターネットが使えなくなるので、答え合わせは当分先です。
ごめんなさい

クイズスレはこのスレが埋まるまでは続くかな……
970名無しさん@おーぷん :2015/03/27(金)23:41:15 ID:q0G
1分が作れるからすべて測れると思ったのだが

だって、どちらかの砂時計を初めてひっくり返したときに測り始めるとか
条件が入ってないし
971名無しさん@おーぷん :2015/03/28(土)00:11:11 ID:Get
>>970
測り始めは指定してあるじゃん
それにもし指定されていないとして、1分が作れるのは特別な初期状態のときに限られるから繰り返して何度も1分を作ることはできないのでは?
972【61】 :2015/03/28(土)00:26:14 ID:TlP
>>970
分かりにくくて申し訳ないです。
砂時計は各種類一個ずつで
スタート時は片方に砂が全てたまっている静止状態です。
973名無しさん@おーぷん :2015/03/28(土)02:05:59 ID:PFT
>>968
1,2,4,7分のみ

8~12分はすべて測れるので
13分以上は8~12分の測り方に5分の砂時計を何回か足せば
全ての時間が測れる

8=1*3+1*5
9=3*3+0*5
10=0*3+2*5
11=2*3+1*5
12=3*4+0*5

ってことか?
974名無しさん@おーぷん :2015/03/28(土)07:34:10 ID:gUi
( t = 0 ) 三分砂時計と五分砂時計を同時にスタートさせる。
( t = 3 ) 三分砂時計が空になる。三分砂時計をリスタートさせる。
( t = 5 ) 五分砂時計が空になる。五分砂時計をリスタートさせる。
( t = 6 ) 三分砂時計が空になる。

この方法で 1 分と 2 分が測れるよ。
つまり、( t = 3 ) で三分砂時計が空になるときから ( t = 5 ) で五分砂時計が空になるときまでが 2 分間。
( t = 5 ) で五分砂時計が空になるときから ( t = 6 ) で三分砂時計が空になるときまでが 1 分間。
975名無しさん@おーぷん :2015/03/28(土)10:06:09 ID:Get
>>974
>>972
976名無しさん@おーぷん :2015/03/28(土)10:08:18 ID:Get
>>973
7分もはかれるよ
977名無しさん@おーぷん :2015/03/28(土)16:55:35 ID:W1R
>>968
次スレも是非お願いしたい
978名無しさん@おーぷん :2015/03/31(火)10:17:16 ID:E3A
12個のコインがある。うち1個は外見上他と変わりないが重さが違う。
重いか軽いかはわかっていない。
天秤を3回だけ使ってその1個を識別せよ。

天秤の両側には何個のコインを乗せても良い。
得られる情報は左右どちらかに傾くか釣り合うかだけ。
979名無しさん@おーぷん :2015/03/31(火)15:44:04 ID:0mS
>>978
始めに6対6、ではなく4対4を天秤にのせる
釣り合えば両方同じだから、残りが違う
980名無しさん@おーぷん :2015/03/31(火)16:44:25 ID:E3A
で?
題意に沿った解答ではないけど
981名無しさん@おーぷん :2015/04/01(水)14:21:23 ID:vq1
>>978
12個のコインを a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l とする
はじめに、{a,b,c,d}と{e,f,g,h}を、天秤に乗せる(左右に4個ずつ)

これらが釣り合えば、次に iとk、その次に iとj を乗せる
両方釣り合えば「l」、両方釣り合わなければ「i」
iとkのみ釣り合わなければ「k」、iとjのみ釣り合わなければ「j」
をそれぞれ選べばよい

{a,b,c,d}と{e,f,g,h}が釣り合わず、仮に{e,f,g,h}の方が重かったとする
次に{a,b,c,e}と{d,i,j,k}を乗せる
(1)これらが釣り合う場合
f,g,hの中に、他より重いものがあることになるから、次にfとgを天秤に乗せて
釣り合えば「h」、傾けば、重い方を選ぶ
(2){a,b,c,e}の方が軽い場合
a,b,cの中に、他より軽いものがあることになるから、次にaとbを天秤に乗せて
釣り合えば「c」、傾けば、軽い方を選ぶ
(3){a,b,c,e}の方が重い場合
eが他より重いか、dが他より軽いかなので、dとiを天秤に乗せ、
釣り合えば「e」を、傾けば「d」を選ぶ
982名無しさん@おーぷん :2015/04/01(水)18:57:30 ID:5hS
>>981
おお、正解です。
サクッとエレガントでないところがミソ。
脳内だけではなかなか無理。
983名無しさん@おーぷん :2015/04/02(木)21:40:14 ID:naS
自作じゃないがマイナー問題

テーブルの上に3つの不透明なコップがひっくり返して置いてある。1つのコップには毒蜘蛛が入っており、他の2つには金貨が入っている。
いま、わたしはどのコップに毒蜘蛛が入っているかを予め知っている。あなたはわたしに、一つのコップを指さしながら一回だけはいかいいえで答えられる質問をすることができる。
ただし、わたしは、もし毒蜘蛛の入ったコップを指さしていたならば嘘をついても構わないが、もし金貨が入っているコップを指さしていたならば本当のことを言わなければならないとする。
さて、あなたは一回の質問で金貨が入っているコップを探し出すためにはどのような質問をすればよいだろうか?
984名無しさん@おーぷん :2015/04/04(土)03:46:53 ID:RgT
>>983
三つのコップを横に並べて、左端のコップを指差しながら、
「反対側の端のコップ(右端のコップ)の中に金貨は入っているか」と聞く。
「はい」なら右端のコップの中に金貨が入っていて、「いいえ」なら中央のコップの中に金貨が入っている。

これしか思い浮かばなかった
985名無しさん@おーぷん :2015/04/04(土)16:44:14 ID:rxK
>>984
正解!用意してた解答も同じやで
986名無しさん@おーぷん :2015/04/07(火)08:45:20 ID:fqR
問題 命題計算 LK において次の論理式
(1) ( ¬q ⊃ ¬p ) ⊃ ( p ⊃ ( ¬q ⊃ ( a ∧ ¬a ) ) )
(2) ( p ⊃ ( ¬q ⊃ ( a ∧ ¬a ) ) ) ⊃ ( ¬q ⊃ ¬p )
はいずれも証明可能であることをシークエント計算で示せ。
987名無しさん@おーぷん :2015/04/08(水)12:28:14 ID:HyA
a∧~aって矛盾してね?
988名無しさん@おーぷん :2015/04/10(金)02:18:01 ID:YHN
>>987
そこだけ取り出したらな
989名無しさん@おーぷん :2015/04/19(日)10:34:02 ID:AKU
あれから全く書き込みがないってどういうこと
990名無しさん@おーぷん :2015/04/19(日)12:43:43 ID:fhP
あれからってどれからや
もしかしてずっと問題出してくれてた人か?
991名無しさん@おーぷん :2015/04/19(日)20:11:52 ID:0ig
出題したい人は自由に出題していいと思うぞ
素数とか電流とか論理式の問題は俺には解けないが…
992名無しさん@おーぷん :2015/04/20(月)13:35:52 ID:0wL
じゃあ、数日前に有名になった数学の問題
http://i.gzn.jp/img/2015/04/14/maths-question-for-singapore-schoolkids/top.jpg

答えはググれ
993名無しさん@おーぷん :2015/04/20(月)21:08:50 ID:NGx
有名クイズだな
994名無しさん@おーぷん :2015/04/21(火)22:25:49 ID:Wft
まさかこんな過疎状態でスレが終わりを迎えようとしているとは・・・
995名無しさん@おーぷん :2015/04/22(水)22:33:20 ID:DST

996名無しさん@おーぷん :2015/04/22(水)22:33:24 ID:DST

997名無しさん@おーぷん :2015/04/22(水)22:33:27 ID:DST

998名無しさん@おーぷん :2015/04/22(水)22:33:29 ID:DST

999名無しさん@おーぷん :2015/04/22(水)22:33:34 ID:DST

1000名無しさん@おーぷん :2015/04/22(水)22:33:38 ID:DST
1000
1000 : Over Thread
このスレッドは1000を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
※スレ主は1005まで投稿できるよ。次スレ誘導とかに使ってね


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